數(shù)列公式

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數(shù)列公式大全1

　　數(shù)列的基本概念等差數(shù)列

　　(1)數(shù)列的通項公式an=f(n)

　　(2)數(shù)列的遞推公式

　　(3)數(shù)列的通項公式與前n項和的關(guān)系

　　an+1-an=d

　　an=a1+(n-1)d

　　a，A，b成等差 2A=a+b

　　m+n=k+l am+an=ak+al

　　等比數(shù)列常用求和公式

　　an=a1qn_1

　　a，G，b成等比 G2=ab

　　m+n=k+l aman=akal

　　不等式

　　不等式的基本性質(zhì) 重要不等式

　　a>b b

　　a>b，b>c a>c

　　a>b a+c>b+c

　　a+b>c a>c-b

　　a>b，c>d a+c>b+d

　　a>b，c>0 ac>bc

　　a>b，c<0 ac

　　a>b>0，c>d>0 ac

　　a>b>0 dn>bn(n∈Z，n>1)

　　a>b>0 > (n∈Z，n>1)

　　(a-b)2≥0

　　a，b∈R a2+b2≥2ab

　　|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|

　　證明不等式的基本方法

　　比較法

　　(1)要證明不等式a>b(或a

　　a-b>0(或a-b<0=即可

　　(2)若b>0，要證a>b，只需證明，

　　要證a

　　綜合法綜合法就是從已知或已證明過的不等式出發(fā)，根據(jù)不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出欲證的不等式(由因?qū)Ч?的方法。

　　分析法分析法是從尋求結(jié)論成立的`充分條件入手，逐步尋求所需條件成立的充分條件，直至所需的條件已知正確時為止，明顯地表現(xiàn)出“持果索因”

數(shù)列公式大全2

　　在高一（5）班上好“等差數(shù)列求和公式”這一堂課后，通過和學(xué)生的互動，我對求和公式上課時遇到的幾點問題提出了一點思考．

　　一、對內(nèi)容的理解及相應(yīng)的教學(xué)設(shè)計

　　1．“數(shù)列前n項的和”是針對一般數(shù)列而提出的一個概念，教材在這里提出這個概念只是因為本節(jié)內(nèi)容首次研究數(shù)列前n項和的問題．因此，教學(xué)設(shè)計時應(yīng)注意“從等差數(shù)列中跳出來”學(xué)習(xí)這個概念，以免學(xué)生誤認(rèn)為這只是等差數(shù)列的一個概念．

　　2．等差數(shù)列求和公式的教學(xué)重點是公式的推導(dǎo)過程，從“掌握公式”來解釋，應(yīng)該使學(xué)生會推導(dǎo)公式、理解公式和運用公式解決問題．其實還不止這些，讓學(xué)生體驗推導(dǎo)過程中所包含的數(shù)學(xué)思想方法才是更高境界的教學(xué)追求，這一點后面再作展開．本節(jié)課在這方面有設(shè)計、有突破，但教師組織學(xué)生討論與交流的環(huán)節(jié)似乎還不夠充分，因為這個層面上的學(xué)習(xí)更側(cè)重于讓學(xué)生“悟”．

　　3．用公式解決問題的內(nèi)容很豐富．本節(jié)課只考慮“已知等差數(shù)列，求前n項”的問題，使課堂不被大量的變式問題所困擾，而能專心將教學(xué)的重點放在公式的推導(dǎo)過程．這樣的處理比較恰當(dāng)．

　　二、求和公式中的數(shù)學(xué)思想方法

　　在推導(dǎo)等差數(shù)列求和公式的過程中，有兩種極其重要的數(shù)學(xué)思想方法．一種是從特殊到一般的探究思想方法，另一種是從一般到特殊的化歸思想方法．

　　從特殊到一般的.探究思想方法大家都很熟悉，本節(jié)課基本按教材的設(shè)計，依次解決幾個問題。

　　從一般到特殊的化歸思想方法的揭示是本節(jié)課的最大成功之處．以往人們常常只注意到“倒序相加”是推導(dǎo)等差數(shù)列求和公式的關(guān)鍵，而忽視了對為什么要這樣做的思考．同樣是求和，與的本質(zhì)區(qū)別是什么？事實上，前者是100個不相同的數(shù)求和，后者是50個相同數(shù)的求和，求和的本質(zhì)區(qū)別并不在于是100個還是50個，而在于“相同的數(shù)”與“不相同的數(shù)”．相同的數(shù)求和是一個極其簡單并且在乘法中早已解決了的問題，將不“相同的數(shù)求和”（一般）化歸為“相同數(shù)的求和”（特殊），這就是推導(dǎo)等差數(shù)列求和公式的思想精髓．不僅如此，將一般的求和問題化歸為我們會求（特殊）的求和問題這種思想還將在以后的求和問題中反復(fù)體現(xiàn)．

　　在等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程中，其實有這樣一個問題鏈：

　　為什么要對和式分組配對？（因為想轉(zhuǎn)化為相同數(shù)求和）

　　為什么要“倒序相加”？（因為可以避免項數(shù)奇偶性討論）

　　為什么“倒序相加”能轉(zhuǎn)化為相同數(shù)求和？（因為等差數(shù)列性質(zhì)）

　　由此可見，“倒序相加”只是一種手段和技巧，轉(zhuǎn)化為相同數(shù)求和是解決問題的思想，等差數(shù)列自身的性質(zhì)是所采取的手段能達到目的的根本原因．

　　三、幾點看法

　　1．注意挖掘基礎(chǔ)知識的教學(xué)內(nèi)涵

　　對待概念、公式等內(nèi)容，如果只停留在知識自身層面，那么教學(xué)常常會落入死記硬背境地．其實越是基礎(chǔ)的東西其所包含的思想方法往往越深刻，值得大家?guī)ьI(lǐng)學(xué)生去認(rèn)真體驗，當(dāng)然這樣的課不好上．

　　2．用好教材

　　現(xiàn)在的教材有不少好的教學(xué)設(shè)計，需要教師認(rèn)真對待，反復(fù)領(lǐng)會教材的意圖．當(dāng)然，由于教材的客觀局限性，還需要教師去處理教材．譬如本節(jié)課，課堂所呈現(xiàn)的基本上是教材的內(nèi)容順序和教學(xué)設(shè)計，但面對教材所給的全部內(nèi)容時，課堂能否在某個環(huán)節(jié)上停下來，能否合理地選取教材的一部分內(nèi)容作為這一節(jié)課的內(nèi)容，而將其他的內(nèi)容留到后面的課，這就體現(xiàn)教師的認(rèn)識和處理教材的水平．

　　3．無止境

　　一堂課所要追求的教學(xué)價值當(dāng)然是盡量能多一些更好，但應(yīng)分清主次．譬如本節(jié)課還用了幾個“實際生活問題”，意圖是明顯的，教師的提問和處理也比較恰當(dāng)．課沒有最好只有更好！

數(shù)列公式大全3

　　公式

　　Sn=(a1+an)n/2

　　Sn=na1+n(n-1)d/2; （d為公差）

　　Sn=An2+Bn; A=d/2,B=a1-(d/2)

　　和為 Sn

　　首項 a1

　　末項 an

　　公差d

　　項數(shù)n

　　通項

　　首項=2×和÷項數(shù)-末項

　　末項=2×和÷項數(shù)-首項

　　末項=首項+（項數(shù)-1）×公差

　　項數(shù)=（末項-首項）（除以）/ 公差+1

　　公差=如：1+3+5+7+……99 公差就是3-1

　　d=an-a

　　性質(zhì)：

　　若 m、n、p、q∈N

　　①若m+n=p+q，則am+an=ap+aq

　　②若m+n=2q，則am+an=2aq

　　注意：上述公式中an表示等差數(shù)列的第n項。

數(shù)列公式大全4

　　新課程理念倡導(dǎo)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計必須“以學(xué)生的學(xué)為本”，“以學(xué)生的發(fā)展為本”，即數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計應(yīng)當(dāng)是人的發(fā)展的“學(xué)程”設(shè)計，而不單純以學(xué)科為中心的“教程”的設(shè)計。

　　一、教學(xué)目標(biāo)的反思

　　本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計意圖：

　　1。進一步促進學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式的改善

　　這是等比數(shù)列的前n項和公式的第一課時，是實踐二期課改中研究型學(xué)習(xí)問題的很好材料，可以落實新課程標(biāo)準(zhǔn)倡導(dǎo)的“提倡積極主動，勇于探索的學(xué)習(xí)方式;強調(diào)本質(zhì)，注意適度形式化”的理念，教與學(xué)的重心不只是獲取知識，而是轉(zhuǎn)到學(xué)會思考、學(xué)會學(xué)習(xí)上，教師注意培養(yǎng)學(xué)生以研究的`態(tài)度和方式去認(rèn)真觀察、分析數(shù)學(xué)現(xiàn)象，提出新的問題，發(fā)現(xiàn)事物的內(nèi)在規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生自覺探索，進一步培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力。

　　2。落實二期課改中的三維目標(biāo)，強調(diào)探究的過程和方法

　　“知識與技能、過程與方法、情感，態(tài)度與價值”這三維目標(biāo)是“以學(xué)生的發(fā)展為本”的教育理念在二期課改中的具體體現(xiàn)，本節(jié)課是數(shù)學(xué)公式教學(xué)課，所以強調(diào)學(xué)生對認(rèn)知過程的經(jīng)歷和體驗，重視對實際問題的理解和應(yīng)用推廣，強調(diào)學(xué)生對探究過程和方法的掌握，探究過程包括發(fā)現(xiàn)和提出問題，通過觀察、抽象、概括、類比、歸納等探究方法進行實踐。

　　在此基礎(chǔ)上，根據(jù)本班學(xué)生是區(qū)重點學(xué)校學(xué)生，學(xué)習(xí)勤懇，平時好提問，敢于交流與表達自己想法，故本節(jié)課制定了如下教學(xué)目標(biāo)：

　　（l）、通過歷史典故引出等比數(shù)列求和問題，并在問題解決的過程中自主探索等比數(shù)列的前n項和公式的求法。

　　（2）、經(jīng)歷等比數(shù)列的前n項和公式的推導(dǎo)過程，了解推導(dǎo)公式所用的方法，掌握等比數(shù)列的前n項和公式，并能進行簡單應(yīng)用。

　　二、教材的分析和反思：

　　本節(jié)課是《等比數(shù)列的前n項和公式》的第一課時，之前學(xué)生已經(jīng)掌握了數(shù)列的基本概念、等差與等比數(shù)列的通項公式及等差數(shù)列的前n項和公式，對于本節(jié)課所需的知識點和探究方法都有了一定的儲備，新教材內(nèi)容是給出了情景問題：印度國王獎賞國際象棋發(fā)明者的故事，通過求棋盤上的麥粒總數(shù)這個問題的解決，體會由多到少的錯位相減法的數(shù)學(xué)思想，并將其類比推廣到一般的等比數(shù)列的前n項和的求法，最后通過一些例題幫助學(xué)生鞏固與掌

數(shù)列公式大全5

　　以下是高中數(shù)學(xué)《等差數(shù)列前n項和的公式》說課稿，僅供參考。

　　教學(xué)目標(biāo)

　　A、知識目標(biāo)：

　　掌握等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)方法;掌握公式的運用。

　　B、能力目標(biāo)：

　　(1)通過公式的探索、發(fā)現(xiàn)，在知識發(fā)生、發(fā)展以及形成過程中培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想、歸納、分析、綜合和邏輯推理的能力。

　　(2)利用以退求進的思維策略，遵循從特殊到一般的認(rèn)知規(guī)律，讓學(xué)生在實踐中通過觀察、嘗試、分析、類比的方法導(dǎo)出等差數(shù)列的求和公式，培養(yǎng)學(xué)生類比思維能力。

　　(3)通過對公式從不同角度、不同側(cè)面的剖析，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力。

　　C、情感目標(biāo)：(數(shù)學(xué)文化價值)

　　(1)公式的發(fā)現(xiàn)反映了普遍性寓于特殊性之中，從而使學(xué)生受到辯證唯物主義思想的熏陶。

　　(2)通過公式的運用，樹立學(xué)生"大眾教學(xué)"的思想意識。

　　(3)通過生動具體的現(xiàn)實問題，令人著迷的數(shù)學(xué)史，激發(fā)學(xué)生探究的興趣和欲望，樹立學(xué)生求真的勇氣和自信心，增強學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的心理體驗，產(chǎn)生熱愛數(shù)學(xué)的情感。

　　教學(xué)重點：等差數(shù)列前n項和的公式。

　　教學(xué)難點：等差數(shù)列前n項和的公式的靈活運用。

　　教學(xué)方法：啟發(fā)、討論、引導(dǎo)式。

　　教具：現(xiàn)代教育多媒體技術(shù)。

　　教學(xué)過程

　　一、創(chuàng)設(shè)情景，導(dǎo)入新課。

　　師：上幾節(jié)，我們已經(jīng)掌握了等差數(shù)列的概念、通項公式及其有關(guān)性質(zhì)，今天要進一步研究等差數(shù)列的前n項和公式。提起數(shù)列求和，我們自然會想到德國偉大的數(shù)學(xué)家高斯"神速求和"的故事，小高斯上小學(xué)四年級時，一次教師布置了一道數(shù)學(xué)習(xí)題："把從1到100的自然數(shù)加起來，和是多少?"年僅10歲的小高斯略一思索就得到答案5050，這使教師非常吃驚，那么高斯是采用了什么方法來巧妙地計算出來的呢?如果大家也懂得那樣巧妙計算，那你們就是二十世紀(jì)末的新高斯。(教師觀察學(xué)生的表情反映，然后將此問題縮小十倍)。我們來看這樣一道一例題。

　　例1，計算：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10.

　　這道題除了累加計算以外，還有沒有其他有趣的解法呢?小組討論后，讓學(xué)生自行發(fā)言解答。

　　生1:因為1+10=2+9=3+8=4+7=5+6，所以可湊成5個11，得到55。

　　生2：可設(shè)S=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10，根據(jù)加法交換律，又可寫成 S=10+9+8+7+6+5+4+3+2+1。

　　上面兩式相加得2S=11+10+......+11=10×11=110

　　10個

　　所以我們得到S=55，

　　即1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55

　　師：高斯神速計算出1到100所有自然數(shù)的各的方法，和上述兩位同學(xué)的方法相類似。

　　理由是：1+100=2+99=3+98=......=50+51=101，有50個101，所以1+2+3+......+100=50×101=5050。請同學(xué)們想一下，上面的方法用到等差數(shù)列的哪一個性質(zhì)呢?

　　生3：數(shù)列{an}是等差數(shù)列，若m+n=p+q，則am+an=ap+aq.

　　二、教授新課(嘗試推導(dǎo))

　　師：如果已知等差數(shù)列的首項a1，項數(shù)為n，第n項an，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，如何來導(dǎo)出它的前n項和Sn計算公式呢?根據(jù)上面的例子同學(xué)們自己完成推導(dǎo)，并請一位學(xué)生板演。

　　生4：Sn=a1+a2+......an-1+an也可寫成

　　Sn=an+an-1+......a2+a1

　　兩式相加得2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+......(an+a1)

　　n個

　　=n(a1+an)

　　所以Sn=

　　#FormatImgID_0#

　　(I)

　　師：好!如果已知等差數(shù)列的首項為a1，公差為d，項數(shù)為n，則an=a1+(n-1)d代入公式(1)得

　　Sn=na1+

　　#FormatImgID_1#

　　d(II) 上面(I)、(II)兩個式子稱為等差數(shù)列的前n項和公式。公式(I)是基本的'，我們可以發(fā)現(xiàn)，它可與梯形面積公式(上底+下底)×高÷2相類比，這里的上底是等差數(shù)列的首項a1，下底是第n項an，高是項數(shù)n。引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)：這些公式中出現(xiàn)了幾個量?(a1，d，n，an，Sn)，它們由哪幾個關(guān)系聯(lián)系?[an=a1+(n-1)d，Sn=

　　#FormatImgID_2#

　　=na1+

　　#FormatImgID_3#

　　d];這些量中有幾個可自由變化?(三個)從而了解到：只要知道其中任意三個就可以求另外兩個了。下面我們舉例說明公式(I)和(II)的一些應(yīng)用。

　　三、公式的應(yīng)用(通過實例演練，形成技能)。

　　1、直接代公式(讓學(xué)生迅速熟悉公式，即用基本量觀點認(rèn)識公式)例2、計算：

　　(1)1+2+3+......+n

　　(2)1+3+5+......+(2n-1)

　　(3)2+4+6+......+2n

　　(4)1-2+3-4+5-6+......+(2n-1)-2n

　　請同學(xué)們先完成(1)-(3)，并請一位同學(xué)回答。

　　生5：直接利用等差數(shù)列求和公式(I)，得

　　(1)1+2+3+......+n=

　　#FormatImgID_4#

　　(2)1+3+5+......+(2n-1)=

　　#FormatImgID_5#

　　(3)2+4+6+......+2n=

　　#FormatImgID_6#

　　=n(n+1)

　　師：第(4)小題數(shù)列共有幾項?是否為等差數(shù)列?能否直接運用Sn公式求解?若不能，那應(yīng)如何解答?小組討論后，讓學(xué)生發(fā)言解答。

　　生6：(4)中的數(shù)列共有2n項，不是等差數(shù)列，但把正項和負(fù)項分開，可看成兩個等差數(shù)列，所以

　　原式=[1+3+5+......+(2n-1)]-(2+4+6+......+2n)

　　=n2-n(n+1)=-n

　　生7：上題雖然不是等差數(shù)列，但有一個規(guī)律，兩項結(jié)合都為-1，故可得另一解法：

　　原式=-1-1-......-1=-n

　　n個

　　師：很好!在解題時我們應(yīng)仔細觀察，尋找規(guī)律，往往會尋找到好的方法。注意在運用Sn公式時，要看清等差數(shù)列的項數(shù)，否則會引起錯解。

　　例3、(1)數(shù)列{an}是公差d=-2的等差數(shù)列，如果a1+a2+a3=12，a8+a9+a10=75，求a1，d，S10。

　　生8：(1)由a1+a2+a3=12得3a1+3d=12，即a1+d=4

　　又∵d=-2，∴a1=6

　　∴S12=12 a1+66×(-2)=-60

　　生9：(2)由a1+a2+a3=12，a1+d=4

　　a8+a9+a10=75，a1+8d=25

　　解得a1=1，d=3 ∴S10=10a1+

　　#FormatImgID_7#

　　=145

　　師：通過上面例題我們掌握了等差數(shù)列前n項和的公式。在Sn公式有5個變量。已知三個變量，可利用構(gòu)造方程或方程組求另外兩個變量(知三求二)，請同學(xué)們根據(jù)例3自己編題，作為本節(jié)的課外練習(xí)題，以便下節(jié)課交流。

　　師：(繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生，將第(2)小題改編)

　　①數(shù)列{an}等差數(shù)列，若a1+a2+a3=12，a8+a9+a10=75，且Sn=145，求a1，d，n

　　②若此題不求a1，d而只求S10時，是否一定非來求得a1，d不可呢?引導(dǎo)學(xué)生運用等差數(shù)列性質(zhì)，用整體思想考慮求a1+a10的值。

　　2、用整體觀點認(rèn)識Sn公式。

　　例4，在等差數(shù)列{an}， (1)已知a2+a5+a12+a15=36，求S16;(2)已知a6=20，求S11。(教師啟發(fā)學(xué)生解)

　　師：來看第(1)小題，寫出的計算公式S16=

　　#FormatImgID_8#

　　=8(a1+a6)與已知相比較，你發(fā)現(xiàn)了什么?

　　生10：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，有a1+a16=a2+a15=a5+a12=18，所以S16=8×18=144。

　　師：對!(簡單小結(jié))這個題目根據(jù)已知等式是不能直接求出a1，a16和d的，但由等差數(shù)列的性質(zhì)可求a1與an的和，于是這個問題就得到解決。這是整體思想在解數(shù)學(xué)問題的體現(xiàn)。

　　師：由于時間關(guān)系，我們對等差數(shù)列前n項和公式Sn的運用一一剖析，引導(dǎo)學(xué)生觀察當(dāng)d≠0時，Sn是n的二次函數(shù)，那么從二次(或一次)的函數(shù)的觀點如何來認(rèn)識Sn公式后，這留給同學(xué)們課外繼續(xù)思考。

　　最后請大家課外思考Sn公式(1)的逆命題：

　　已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若對于所有自然數(shù)n，都有Sn=

　　#FormatImgID_9#

　　。數(shù)列{an}是否為等差數(shù)列，并說明理由。

　　四、小結(jié)與作業(yè)。

　　師：接下來請同學(xué)們一起來小結(jié)本節(jié)課所講的內(nèi)容。

　　生11：1、用倒序相加法推導(dǎo)等差數(shù)列前n項和公式。

　　2、用所推導(dǎo)的兩個公式解決有關(guān)例題，熟悉對Sn公式的運用。

　　生12：1、運用Sn公式要注意此等差數(shù)列的項數(shù)n的值。

　　2、具體用Sn公式時，要根據(jù)已知靈活選擇公式(I)或(II)，掌握知三求二的解題通法。

　　3、當(dāng)已知條件不足以求此項a1和公差d時，要認(rèn)真觀察，靈活應(yīng)用等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)，看能否用整體思想的方法求a1+an的值。

　　師：通過以上幾例，說明在解題中靈活應(yīng)用所學(xué)性質(zhì)，要糾正那種不明理由盲目套用公式的學(xué)習(xí)方法。同時希望大家在學(xué)習(xí)中做一個有心人，去發(fā)現(xiàn)更多的性質(zhì)，主動積極地去學(xué)習(xí)。

　　本節(jié)所滲透的數(shù)學(xué)方法;觀察、嘗試、分析、歸納、類比、特定系數(shù)等。

　　數(shù)學(xué)思想：類比思想、整體思想、方程思想、函數(shù)思想等。

數(shù)列公式大全6

　　等比數(shù)列求和公式

　　1.等比數(shù)列通項公式

　　an=a1×q^(n-1);

　　推廣式：an=am×q^(n-m);

　　2.等比數(shù)列求和公式

　　Sn=n×a1(q=1);

　　Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q)=a1(q^n-1)/(q-1)(q≠1);

　　(q為公比，n為項數(shù))。

　　3.等比數(shù)列求和公式推導(dǎo)

　　(1)Sn=a1+a2+a3+...+an(公比為q);

　　(2)q*Sn=a1*q+a2*q+a3*q+...+an*q=a2+a3+a4+...+a(n+1);

　　(3)Sn-q*Sn=a1-a(n+1);

　　(4)(1-q)Sn=a1-a1*q^n;

　　(5)Sn=(a1-a1*q^n)/(1-q);

　　(6)Sn=(a1-an*q)/(1-q);

　　(7)Sn=a1(1-q^n)/(1-q);

　　(8)Sn=k*(1-q^n)~y=k*(1-a^x)。

　　拓展閱讀：等比數(shù)列的性質(zhì)

　　(1)若m、n、p、q∈N+，且m+n=p+q，則am×an=ap×aq。

　　(2)在等比數(shù)列中，依次每k項之和仍成等比數(shù)列。

　　(3)若“G是a、b的等比中項”則“G2=ab(G≠0)”。

　　(4)若{an}是等比數(shù)列，公比為q1，{bn}也是等比數(shù)列，公比是q2，則{a2n}，{a3n}…是等比數(shù)列，公比為q1^2，q1^3…{can}，c是常數(shù)，{an×bn}，{an/bn}是等比數(shù)列，公比為q1，q1q2，q1/q2。

　　(5)若(an)為等比數(shù)列且各項為正，公比為q，則(log以a為底an的對數(shù))成等差，公差為log以a為底q的對數(shù)。

　　(6)等比數(shù)列前n項之和。

　　在等比數(shù)列中，首項A1與公比q都不為零。

　　注意：上述公式中An表示A的n次方。

　　(7)由于首項為a1，公比為q的等比數(shù)列的'通項公式可以寫成an=(a1/q)×qn，它的指數(shù)函數(shù)y=ax有著密切的聯(lián)系，從而可以利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)來研究等比數(shù)列。

數(shù)列公式大全7

　　一、高考數(shù)列基本公式：

　　1、一般數(shù)列的通項an與前n項和Sn的關(guān)系：an=

　　2、等差數(shù)列的通項公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1為首項、ak為已知的第k項) 當(dāng)d≠0時，an是關(guān)于n的一次式；當(dāng)d=0時，an是一個常數(shù)。

　　3、等差數(shù)列的前n項和公式：

　　當(dāng)d≠0時，Sn是關(guān)于n的二次式且常數(shù)項為0；當(dāng)d=0時（a1≠0），Sn=na1是關(guān)于n的正比例式。

　　4、等比數(shù)列的通項公式： an= a1qn-1an= akqn-k

　　(其中a1為首項、ak為已知的第k項，an≠0)

　　5、等比數(shù)列的前n項和公式：當(dāng)q=1時，Sn=n a1 (是關(guān)于n的正比例式)；

　　當(dāng)q≠1時，

　　二、高考數(shù)學(xué)中有關(guān)等差、等比數(shù)列的結(jié)論

　　1、等差數(shù)列{an}的任意連續(xù)m項的和構(gòu)成的數(shù)列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m- S3m、……仍為等差數(shù)列。

　　4、等比數(shù)列{an}的任意連續(xù)m項的和構(gòu)成的數(shù)列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m- S3m、……仍為等比數(shù)列。

　　5、兩個等差數(shù)列{an}與{bn}的和差的數(shù)列{an+bn}、{an-bn}仍為等差數(shù)列。

　　6、兩個等比數(shù)列{an}與{bn}的積、商、倒數(shù)組成的數(shù)列

　　7、等差數(shù)列{an}的.任意等距離的項構(gòu)成的數(shù)列仍為等差數(shù)列。

　　8、等比數(shù)列{an}的任意等距離的項構(gòu)成的數(shù)列仍為等比數(shù)列。

　　9、三個數(shù)成等差數(shù)列的設(shè)法：a-d,a,a+d；四個數(shù)成等差的設(shè)法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d

　　10、三個數(shù)成等比數(shù)列的設(shè)法：a/q,a,aq；

　　四個數(shù)成等比的錯誤設(shè)法：a/q3,a/q,aq,aq3 (為什么？)

　　12、{bn}（bn>0）是等比數(shù)列，則{logcbn} (c>0且c≠1) 是等差數(shù)列。

數(shù)列公式大全8

　　如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列。這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示。

　　(1)等比數(shù)列的通項公式是：An=A1×q^(n-1)

　　若通項公式變形為an=a1/q*q^n(n∈N*),當(dāng)q>0時，則可把an看作自變量n的函數(shù)，點(n,an)是曲線y=a1/q*q^x上的一群孤立的點。

　　(2) 任意兩項am，an的.關(guān)系為an=am·q^(n-m)

　　(3)從等比數(shù)列的定義、通項公式、前n項和公式可以推出： a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n}

　　(4)等比中項：aq·ap=ar^2，ar則為ap，aq等比中項。

　　(5) 等比求和：Sn=a1+a2+a3+.......+an

　　①當(dāng)q≠1時，Sn=a1(1-q^n)/(1-q)或Sn=(a1-an×q)÷(1-q)

　　②當(dāng)q=1時， Sn=n×a1(q=1)

　　記πn=a1·a2…an，則有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1

　　另外，一個各項均為正數(shù)的等比數(shù)列各項取同底數(shù)數(shù)后構(gòu)成一個等差數(shù)列;反之，以任一個正數(shù)C為底，用一個等差數(shù)列的各項做指數(shù)構(gòu)造冪Can，則是等比數(shù)列。在這個意義下，我們說：一個正項等比數(shù)列與等差數(shù)列是“同構(gòu)”的。

數(shù)列公式大全9

　　等差數(shù)列求和公式推導(dǎo)過程：

　　設(shè)首項為a1 ,末項為an ,項數(shù)為n ,公差為d ,前n項和為Sn ,則有:Sn=(a1+an)n/2 ;Sn=na1+n(n-1)d/2(d為公差)

　　當(dāng)d≠0時，Sn是n的二次函數(shù)，(n，Sn)是二次函數(shù)的圖象上一群孤立的'點。利用其幾何意義可求前n項和Sn的最值。

　　注意：公式一二三事實上是等價的，在公式一中不必要求公差等于一。

　　求和推導(dǎo)證明：由題意得：Sn=a1+a2+a3+...+an①

　　Sn=an+a(n-1)+a(n-2)+...+a1②

　　①+②得：2Sn=[a1+an]+[a2+a(n-1)]+[a3+a(n-2)]+...+[a1+an](當(dāng)n為偶數(shù)時)

　　Sn={[a1+an]+[a2+a(n-1)]+[a3+a(n-2)]+...+[a1+an]}/2

　　Sn=n(A1+An)/2 (a1，an，可以用a1+(n-1)d這種形式表示可以發(fā)現(xiàn)括號里面的數(shù)都是一個定值，即(A1+An)

　　拓展閱讀：等比數(shù)列的五個基本公式

　　(1)等比數(shù)列的通項公式是：

　　An=A1×q^(n-1)

　　若通項公式變形為an=a1/q*q^n(n∈N*),當(dāng)q>0時，則可把an看作自變量n的函數(shù)，點(n,an)是曲線y=a1/q*q^x上的一群孤立的點。

　　(2)任意兩項am，an的關(guān)系為an=am·q^(n-m)

　　(3)從等比數(shù)列的定義、通項公式、前n項和公式可以推出：

　　a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n}

　　(4)等比中項：aq·ap=ar^2，ar則為ap，aq等比中項。

　　(5)等比求和：Sn=a1+a2+a3+.......+an

　　①當(dāng)q≠1時，Sn=a1(1-q^n)/(1-q)或Sn=(a1-an×q)÷(1-q)

　　②當(dāng)q=1時，Sn=n×a1(q=1)

　　記πn=a1·a2…an，則有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1

數(shù)列公式大全10

　　不過一般分小題、有梯度設(shè)問，往往是第1小題就是求數(shù)列的通項公式，難度適中，一般考生可突破，爭取分?jǐn)?shù)，而且是做第2小題的基礎(chǔ)，因此，求數(shù)列通項公式的解題方法、技巧，每一位考生都必須熟練掌握。求數(shù)列通項公式的題型很多，不同的題型有不同的解決方法。下面結(jié)合教學(xué)實踐，談?wù)勄髷?shù)列通項公式的解題思路。

　　一、已知數(shù)列的前幾項

　　已知數(shù)列的前幾項，求通項公式。通過觀察找規(guī)律，分析出數(shù)列的項與項數(shù)之間的關(guān)系，從而求出通項公式。這種方法稱為觀察法，也即是歸納推理。

　　例1、求數(shù)列的通項公式

　　（1）0，22——1/3，32——1/4，42＋1/5……

　　（2）9，99，999，……

　　分析：（1）0=12——1/2，每一項的分子是項數(shù)的平方減去1，分母是項數(shù)加上1，n2——1/n＋1＝n——1，其實，該數(shù)列各項可化簡為0，1，2，3，……，易知an＝n——1。

　　（2）各項可拆成10-1，102-1，103-1，……，an＝10n——1。

　　此題型主要通過讓學(xué)生觀察、試驗、歸納推理等活動，且在此基礎(chǔ)上進一步通過比較、分析、概括、證明去揭示事物的`本質(zhì)，從而培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。

　　二、已知數(shù)列的前n項和Sn

　　已知數(shù)列的前n項和Sn，求通項公式an，主要通過an與Sn的關(guān)系轉(zhuǎn)化，即an -{ S1（n＝1） Sn -Sn——1（n≥2）

　　例2、已知數(shù)列{an }的前n項和Sn=2n+3，求an

　　分析：Sn=a1+a2 +……+an——1+an

　　Sn——1＝a1+a2 +……+an——1

　　上兩式相減得 Sn -Sn——1=an

　　解：當(dāng)n=1時，a1=S1=5

　　當(dāng)n≥2時，an =Sn -Sn——1=2n+3-（2n——1+3）=2n——1

　　∵n=1不適合上式

　　∴an ={5（n=1） 2n——1（n≥2）

　　三、已知an與Sn關(guān)系

　　已知數(shù)列的第n項an與前n項和Sn間的關(guān)系：Sn=f（an），求an。一般的思路是先將Sn與an的關(guān)系轉(zhuǎn)化為an與an——1的關(guān)系，再根據(jù)與的關(guān)系特征分為如下幾種類型。不同的類型，要用不同的方法解決。

　　（1）an=an——1+k。數(shù)列屬等差數(shù)列，直接代公式可求通項公式。

　　例3、已知數(shù)列{an}，滿足a1=3，an=an——1+8，求an。

　　分析：由已知條件可知數(shù)列是以3為首項，8為公差的等差數(shù)列，直接代公式可求得an=8n-5。

　　（2）an=kan——1（k為常數(shù)）。數(shù)列屬等比數(shù)列，直接代公式可求通項公式。

　　例4、數(shù)列{an}的前n項和Sn,a1=1，an+1=2Sn+1（n∈N+）

　　求數(shù)列{an}的通項公式。

　　分析：根據(jù)an與Sn的關(guān)系，將an+1=2Sn+1轉(zhuǎn)化為an與an+1的關(guān)系。

　　解：由an+1=2Sn+1

　　得an=2Sn-1+1（n≥2）

　　兩式相減，得an+1-an=2an

　　∴an+1=3an （n≥2）

　　∵a2=2Sn+1=3

　　∴a2=3a1

　　∴{an}是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列

　　∴an=3n-1

　　（3）an+1=an+f（n），用疊加法

　　思路：令n=1，2，3，……，n-1

　　得a2=a1+f（1）

　　a3=a2+f（2）

　　a4=a3+f（3）

　　……

　　+）an=an——1+f（n-1）

　　an=a1+f（1）+f（2）+…+f（n-1）

　　例5、若數(shù)列{an}滿足a1=2，an+1=an+2n

　　則{an}的通項公式=（）

　　解：∵an+1=an+2n

　　∴a2 =a1+2×1

　　a3=a2+2×2

　　a4=a3+2×3

　　……

　　+）an=an——1+2（n-1）

　　an=a1+2（1+2+3+…+n-1）

　　=2+2×（1+n-1）（n-1）

　　=n2-n+2

　　（4）an+1=f（n）an，用累積法

　　思路：令n=1，2，3，……，n-1

　　得a2 =f（1）a1 a3=f（2）a2 a4=f（3）a3

　　……

　　×）an=f（n-1）an-1

　　an=a1·f（1）·f（2）·f（3）……f（n-1）

　　例6、若數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=2n+an，則an=（）

　　解：∵an+1=2nan ∴a2 =21a1

　　a3=22a2 a4=23a3

　　……

　　×） an=2n——1·an——1

　　an=2·22·23·……·2n-1a1=2n（n-1）/2

　　（5）an=pan——1+q， an=pan——1+f（n）

　　an+1=an+p·qn（pq≠0），

　　an=p（an——1）q， an+1=ran/pan+q=（pr≠0，q≠r）

　　（p、q、r為常數(shù)）

　　這些類型均可用構(gòu)造法或迭代法。

　　①an=pan——1+q （p、q為常數(shù)）

　　構(gòu)造法：將原數(shù)列的各項均加上一個常數(shù)，構(gòu)成一個等比數(shù)列，然后，求出該等比數(shù)列的通項公式，再還原為所求數(shù)列的通項公式。

　　將關(guān)系式兩邊都加上x

　　得an+x=Pan——1+q+x

　　=P（an——1 + q+x/p）

　　令x=q+x/p，得x=q/p-1

　　∴an+q/p-1=P（an——1+q/p-1）

　　∴{an+q/p-1}是以a1+q/p-1為首項，P為公比的等比數(shù)列。

　　∴an+q/p-1=（a1+q/p-1）Pn-1

　　∴an=（a1+q/p-1）Pn-1-q/p-1

　　迭代法：an=p（an——1+q）=p（pan-2+q）+q

　　=p2（（pan-3+q）+pq+q……

　　例7、數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn=2an-n（n∈N+）求an

　　解析：由Sn=2an-n 得Sn-1=2an-1-（n-1）（n≥2,n∈N+）

　　兩式相減得an=2an-1+1

　　兩邊加1得an+1=2（an-1+1）（n≥2，n∈N+）

　　構(gòu)造成以2為公比的等比數(shù)列{an+1}

　　②an=Pan-1+f（n）

　　例8、數(shù)列{an}中，a1為常數(shù)，且an=-2an-1+3n-1（≥2，n∈N）

　　證明：an=（-2）n-1a1+3n+（-1）n·3·2n-1/5

　　分析：這道題是證明題，最簡單的方法當(dāng)然是數(shù)學(xué)歸納法，現(xiàn)用構(gòu)造法和迭代法來證明。

　　方法一：構(gòu)造公比為-2的等比數(shù)列{an+λ·3n}

　　用比較系數(shù)法可求得λ=-1/5

　　方法二：構(gòu)造等差型數(shù)列{an/（-2）n}。由已知兩邊同以（-2）n，得an/（-2）n=an-1/（-2）n=1/3·（-3/2）n，用疊加法處理。

　　方法三：迭代法。

　　an=-2an-1+3n-1=-2（-2an-2+3n-2）+3n-1

　　=（-2）2an-2+（-2）·3n-2+3n-1

　　=（-2）2（-2an-3+3n-3）+（-2）·3n-2+3n-1

　　=（-2）3an-3+（-2）·3n-3+（-2）·3n-2+3n-1

　　=（-2）n-1a1+（-2）n-1·3+（-2）n-3·+32+……+（-2）·3n-2+3n-1

　　=（-2）n-1a1+3n+（-1）n-2·3·2n-1/5

　　③an+1=λan+p·qn（pq≠0）

　　（ⅰ）當(dāng)λ=qn+1時，等式兩邊同除以，就可構(gòu)造出一個等差數(shù)列{an/qn}。

　　例9、在數(shù)列{an}中，a1=4，an+1+2n+1，求an。

　　分析：在an+1=2an+2n+1兩邊同除以2n+1，得an+1/2n+1=an/2n+1

　　∴{an/2n}是以a1/2=2為首項，1為公差的等差數(shù)列。

　　（ⅱ）當(dāng)λ≠q時，等式兩邊同除以qn+1，令bn=an/qn，得bn+1=λ/qbn+p，再構(gòu)造成等比數(shù)列求bn，從而求出an。

　　例10、已知a1=1，an=3an-1+2n-1，求an

　　分析：從an=3an-1+2n-1兩邊都除以2n，

　　得an/2n=3/2 an-1/2n-1+1/2

　　令an/2n=bn

　　則bn=3/2bn-1+1/2

　　④an=p（an——1）q（p、q為常數(shù)）

　　例11、已知an=1/a an——12，首項a1，求an。

　　方法一：將已知兩邊取對數(shù)

　　得lgan=2lgan——1-lga

　　令bn=lgan

　　得bn=2bn-1-lga，再構(gòu)造成等比數(shù)列求bn，從而求出an。

　　方法二：迭代法

　　an=1/a a2n——1=1/a （1/a a2n——2）2=1/a3 a4n——2

　　=1/a3 （1/a a2n——3）4=1/a7·an——38=a·（an——3/a）23

　　=……=a·（a1/a）2n——1

　　⑤an+1=ran/pan+q（p、q、r為常數(shù)，pr≠0，q≠r）

　　將等式兩邊取倒數(shù)，得1/an+1=q/r·1/an+p/r，再構(gòu)造成等比數(shù)列求an。

　　例12、在{an}中，a1=1，an+1=an/an+2，求an

　　解：∵an+1=an/an+2

　　∴1/an+1=2·1/an+1

　　兩邊加上1，得1/an+1+1=2（1/an+1）

　　∴{1/an+1}是以1/an+1=2為首項，2為公比的等比數(shù)列

　　∴ 1/an+1=2×2n-1=2n

　　∴an=1/2n-1

　　以上羅列出求數(shù)列通項公式的解題思路雖然很清晰，但是一般考生對第三項中的5種類型題用構(gòu)選法和迭代法都比較困難的。遇到此情況，可轉(zhuǎn)化為第一種類型解決，即從an與Sn的關(guān)系式求出數(shù)列的前幾項，用觀察法求an。

數(shù)列公式大全11

　　等比數(shù)列求和公式

　　q≠1時，Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-anq)/(1-q)

　　q=1時，Sn=na1

　　(a1為首項,an為第n項,d為公差,q為等比)

　　這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，等比數(shù)列a1≠ 0。注：q=1時，{an}為常數(shù)列。利用等比數(shù)列求和公式可以快速的`計算出該數(shù)列的和。

　　等比數(shù)列求和公式推導(dǎo)

　　Sn=a1+a2+a3+...+an(公比為q)

　　qSn=a1q + a2q + a3q +...+ anq = a2+ a3+ a4+...+ an+ a(n+1)

　　Sn-qSn=(1-q)Sn=a1-a(n+1)

　　a(n+1)=a1qn

　　Sn=a1(1-qn)/(1-q)(q≠1)

數(shù)列公式大全12

　　一、分組轉(zhuǎn)化求和法

　　若一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列構(gòu)成，則求這個數(shù)列的前n項和Sn時可以用分組求和法求解。一般步驟是：拆裂通項――重新分組――求和合并。

　　例1求Sn=1×4+2×7+3×10+…+n（3n+1）的和

　　解由和式可知，式中第n項為an=n（3n+1）=3n2+n

　　∴Sn=1×4+2×7+3×10+…+n（3n+1）

　　=（3×12+1）+（3×22+2）+（3×32+3）+…+（3n2+n）

　　=3（12+22+32+…+n2）+（1+2+3+…+n）

　　=3×16n（n+1）（2n+1）+n（n+1）2

　　=n（n+1）2

　　二、奇偶分析求和法

　　求一個數(shù)列的前n項和Sn，如果需要對n進行奇偶性討論或?qū)⑵鏀?shù)項、偶數(shù)項分組求和再求解，這種方法稱為奇偶分析法。

　　例2：求和：Sn=-1+3-5+7-9+11-…+（-1）n（2n-1）

　　分析：觀察數(shù)列的通項公式an=（-1）n（2n-1）可知Sn與數(shù)列項數(shù)n的奇偶性有關(guān)，故利用奇偶分析法及分組求和法求解，也可以在奇偶分析法的基礎(chǔ)上利用并項求和法求的結(jié)果。

　　解：當(dāng)n為偶數(shù)時，

　　Sn=-1+3-5+7-9+11-…+（-1）n（2n-1）

　　=-（1+5+9+…+2n-3）+（3+7+11+…+2n-1）

　　=-n2（1+2n-3）2+n2（3+2n-1）2

　　=-n2-n2+n2+n2=n

　　當(dāng)n為奇數(shù)時，

　　Sn=-1+3-5+7-9+11-…+（-1）n（2n-1）

　　=-（1+5+9+…+2n-3）+（3+7+11+…+2n-1）

　　=-n+12（1+2n-1）2+n-12（3+2n-3）2

　　=-n2+n2+n2-n2=-n

　　綜上所述，Sn=（-1）nn

　　三、并項求和法

　　一個數(shù)列an的'前n項和Sn中，某些項合在一起就具有特殊的性質(zhì)，因此可以幾項結(jié)合求和，再求Sn，稱之為并項求和法。形如an=（-1）nf（n）的類型，就可以采用相鄰兩項合并求解。如例3中可用并項求和法求解。

　　例3：求S=-12+22-32+42-…-992+1002

　　解S=（-12+22）+（-32+42）+…+（-992+1002）

　　=（1+2）+（3+4）+…+（99+100）=5050

　　四、基本公式法

　　如果一個數(shù)列是符合以下某種形式，如等差、等比數(shù)列或通項為自然數(shù)的平方、立方的，那么可以直接利用以下數(shù)列求和的公式求和。

　　常用公式有

　　（1）等差數(shù)列求和公式：Sn=na1+n（n-1）2d=n（a1+an）2

　　（2）等比數(shù)列求和公式：Sn=na1a1（1-qn）1-q=a1-anq1-q（q=1）（q≠1）

　　（3）1+2+3+…+n=n（n+1）2

　　（4）1+3+5+…+2n-1=n2

　　（5）2+4+6+…+2n=n（n+1）

　　（6）12+22+32+…+n2=16n（n+1）（2n+1）

　　（7）13+23+33+…+n3=14n2（n+1）2

　　例1：已知等比數(shù)列an的通項公式是an=12n-1，設(shè)Sn是數(shù)列an的前n項和，求Sn。

　　解：∵an=12n-1∴a1=1，q=12

　　∴Sn=1+12+14+…+12n-1=1（1-12n）1-12=2-12n-1

　　五、裂項相消法

　　如果一個數(shù)列an的通項公式能拆分成兩項差的形式，并且相加過程中可以互相抵消至只剩下有限項時，這時只需求有限項的和，把這種求數(shù)列前n項和Sn的方法叫做裂項相消法。

　　裂項相消法中常用的拆項轉(zhuǎn)化公式有：

　　（1）1n（n+1）=1n-1n+1，1n（n+k）=1k（1n-1n+k）

　　（2）1（2n-1）（2n+1）=12（12n-1-12n+1）

　　（3）1n（n+1）（n+2）=12[1n（n+1）-1（n+1）（n+2）]

　　（4）1n+n+1=n+1-n，1n+n+k=1k（n+k-n），

　　其中n∈N，k∈R且k≠0

　　例5：求數(shù)列1，11+2，11+2+3，…，11+2+3+…+n，…的前n和Sn。

　　解由題知，an=11+2+3+…+n=2n（n+1）=2（1n-1n+1）

　　∴Sn=1+11+2+11+2+3+…+11+2+3+…+n

　　=2（1-12）+2（12-13）+2（13-14）+…+2（1n-1n+1）

　　=2（1-12+12-13+13-14+…+1n-1n+1）

　　=2（1-1n+1）=2nn+1

數(shù)列公式大全13

　　1、愛因斯坦說過：“興趣是最好的老師。”新課程的教材比以前有了更多的背景足以說明。本節(jié)也以國際象棋的故事為引例來激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，然而卻在求和公式的證明中以“我們發(fā)現(xiàn)，如果用公比乘…”一筆帶過，這個“發(fā)現(xiàn)”卻不是普通學(xué)生能做到的，他們只能驚嘆于解法的神奇，而求知欲卻會因其“技巧性太大”而逐步消退。因此如何在有趣的數(shù)學(xué)文化背景下進一步拓展學(xué)生的視野，使數(shù)學(xué)知識的發(fā)生及形成更為自然，更能貼近學(xué)生的認(rèn)知特征，是每一位教師研討新教材的重要切入點。

　　2、“課程內(nèi)容的呈現(xiàn)，應(yīng)注意反映數(shù)學(xué)發(fā)展的規(guī)律，以及人們的認(rèn)識規(guī)律，體現(xiàn)從具體到抽象、特殊到一般的原則。”“教材應(yīng)注意創(chuàng)設(shè)情境，從具體實例出發(fā)，展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展過程，使學(xué)生能夠從中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，經(jīng)歷數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造過程，了解知識的來龍去脈。”這些都是《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對教材編寫的建議，更是對課堂教學(xué)實踐的要求。然而，在新課程的教學(xué)中，“穿新鞋走老路”仍是常見的現(xiàn)狀，“重結(jié)果的應(yīng)用，輕過程的探究”或者是應(yīng)試教育遺留的禍根，卻更與教材的編寫，教師對《課程標(biāo)準(zhǔn)》、教材研究的深淺有關(guān)，更與課堂教學(xué)實踐密切相關(guān)。我們也曾留足時間讓學(xué)生思考，卻沒有人能“發(fā)現(xiàn)”用“公比乘以①的兩邊”，設(shè)計“從特殊到一般”即由2，3，4，…到q，再到，也是對教學(xué)的不斷實踐與探索的`成果。因此，新課程教材留給教師更多發(fā)展的空間，每位教師有責(zé)任也應(yīng)當(dāng)深刻理會《標(biāo)準(zhǔn)》的理念，認(rèn)真鉆研教材，促進《標(biāo)準(zhǔn)》及教材更加符合學(xué)生的實際。

　　3、先看文[1]由學(xué)生自主探究而獲得的兩種方法：

　　且不說初中教材已經(jīng)把等比定理刪去，學(xué)生能獲得以上兩種方法并不比發(fā)現(xiàn)乘以來得容易，無奈之下，有的教師便用“欣賞”來走馬觀花地讓學(xué)生感受一下，這當(dāng)然更不可取。

　　回到乘比錯位相減法，其實要獲得方法1并不難：可以用q乘以，那么是否可以在的右邊提出一個q呢？請看：

　　與比較，右邊括號中比少了一項：，則有

　　以上方法僅須教師稍作暗示，學(xué)生都可完成。

　　對于方法2，若去掉分母有，與方法1是一致的。

　　4、在導(dǎo)出公式及證明中值得花這么多時間嗎？或者直接給出公式，介紹證明，可留有更多的時間供學(xué)生練習(xí)，以上過程，教師講的是不是偏多了？

　　如果僅僅是為了讓學(xué)生學(xué)會如何應(yīng)試，誠然以上的過程將不為人所喜歡，因為按此過程，一節(jié)課也就差不多把公式給證明完，又哪來例題與練習(xí)的時間呢？

　　但是我們要追問：課堂應(yīng)教給學(xué)生什么呢？課堂教學(xué)應(yīng)從龐雜的知識中引導(dǎo)學(xué)生去尋找關(guān)系，挖掘書本背后的數(shù)學(xué)思想，挖掘出基于學(xué)生發(fā)展的知識體系，教學(xué)生學(xué)會思考，讓教學(xué)真正成為發(fā)展學(xué)生能力的課堂活動。因此，本課例在公式的推導(dǎo)及證明中舍得花大量時間，便是為了培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會探究與學(xué)習(xí)，其價值遠遠超過了公式的應(yīng)用。