初三數(shù)學練習題命題與證明試題
一、選擇題(每小題3分，共30分)
1.(2013湖南湘潭中考)下列命題正確的是()
A.三角形的中位線平行且等于第三邊
B.對角線相等的四邊形是等腰梯形
C.四條邊都相等的四邊形是菱形
D.相等的角是對頂角
2.有如下命題：①無理數(shù)就是開方開不盡的數(shù);②一個實數(shù)的立方根不是正數(shù)就是負數(shù);
③無理數(shù)包括正無理數(shù)、0、負無理數(shù);④如果一個數(shù)的立方根是這個數(shù)本身，那么這個數(shù)是l或0.其中錯誤的個數(shù)是()
A.1 B. 2 C.3 D.4
3.下 列條件中，能判定四邊形是平行四邊形的是( )
A .一組對角相等 B.對角線互相平分
C.一組對邊相等 D.對角線互相垂直
4.(2013四川攀枝花中考)下列命題錯誤的是( )
A.菱形的面積等于兩條對角線長乘積的一半
B.矩形的對角線相等
C.有兩個角相等的梯形是等腰梯形
D.對角線相等的菱形是正方形
5.若四邊形的兩條對角線相等，則順次連接該四邊形各邊中點所得的四邊形是( )
A. 梯形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形
6.如圖，在 中， 的垂直平分線分別交 于點 ， 交 的延長線于點 ，已知 則四邊形 的面積是()
A. B. C. D.
7.(2013四川遂寧中考)如圖，在 中， 90， 30，以點 為圓心，任意長為半徑畫弧分別交 于點 和 ，再分別以點 為圓心，大于 的長為半徑畫弧，兩弧交于點 ，連接 并延長交 于點 ，則下列說法中正確的個數(shù) 是( )
�、� 是 的平 分線;② 60③點 在 的中垂線上;④
.
A.1 B.2 C.3 D.4
8.用反證法證明在 中，若 ，則 ，第一步應假設()
A. B. C. D.
9.如圖，將一個長為 ，寬為 的矩形紙片對折兩次后，沿所得矩形兩鄰邊中點的
連線(虛線)剪下，將剪下的部分打開，得到的菱形的`面積為( )
A. B. C. D.
10.如圖，是一張矩形紙片 ， ，若將紙片沿 折疊，使 落在 上，點 的對應點為點 .若 ，則 ()
A. B. C. D.
二、填空題(每小題3分，共24分)
11.如圖，在四邊形 中，已知 ，再添加一個條件___________(寫出一個即可)，則四邊形 是平行四邊形.(圖形中不再添加輔助線)
12.命題：如果 那么 的逆命題是________________，該命題是_____命題(填真或假).
13.如圖，在菱形 中，對角線 相交于點 ，若再補充一個條件能使菱形 成為正方形，則這個條件是 .(只填一個 條件即可)
14.如圖，在 中, ， 分別是 和 的角平分線，且 ， ，則 的周長是_______ .
15.如圖，矩形 的對角線 ， ，則圖中五個小矩形的周長之和為_______.
16.如圖，在等腰梯形 中， ， ， ， ， ，則上底 的長是_______ .
17.(2013山東萊蕪中考改編)下列命題是真命題的是 .
�、� 與 互為倒數(shù);②若 ，則 ;③梯形的面積等于梯形的中位線與高的乘積的一半.
18 .寫一個與直角三角形有關(guān)的 定理 .
三、解答題(共66分)
19.(6分)如圖，在 中， 兩點分別在 和 上，求證： 不可能互相平分.
20.(8分)已知 是整數(shù)， 能被3整除，求證： 和 都能
被3整除.(用反證法證明)
21.(8分)如圖，在平行四邊形 中，對角線 相交于點 ， 過點 且分別交 于點 .求證： .
22.(10分)如圖，在 中， , 的垂直平分線 交 于點 ，交 于點 ，點 在 上，且 .
�、徘笞C：四邊形 是平行四邊形.
�、飘� 滿足什么條件時，四邊形 是菱形?并說明理由.
23.(10分)如圖，在平行四邊形 中， 是對角線 上的兩點，且 .求證: .
24.(12分)如圖， ， 是 上一點， 于點 ， 的延長線 交 的延長線于點 .求證： 是等腰三角形.
25.(12分)如圖，在 中， ，垂足為 ， 是 外角 的平分線， ，垂足為 .
(1)求證：四邊形 為矩形.
(2)當 滿足什么條件時，四邊形 是一個正方形?并給出證明.
第2章 命題與證明檢測題參考答案
1.C 解析：因為三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半，所以選項A錯誤;因
為對角線相等的四邊形還有矩形等，所以選項B錯誤;因為相等的角有很多，不一定都是
對頂角，所以選項D錯誤.故選C.
2.D 解析：①開方開不盡的數(shù)是無理數(shù)，但無理數(shù)就是開方開不盡的數(shù)是錯誤的，例如 ，故①錯誤;②一個實數(shù)的立方根不光是正數(shù)、負數(shù)，還可能是0，故②錯誤;③無理數(shù)包括正無理數(shù)和負無理數(shù)，不包括0，故③錯誤;④如果一個數(shù)的立方根是這個數(shù)本身，那么這個數(shù)是l，0或 ，故④錯誤.故選D.
3.B 解析：利用平行四邊形的判定定理知B正確.
4.C 解析：直角梯形有兩個角相等，都是90，但它不是等腰梯形，故選項C是錯誤的.
5.C 解析：由四邊形的兩條對角線相等，知順次連接該四邊形各邊中點所得的四邊形的四條邊相等，即所得四邊形是菱形.
6.A 解析：∵ 是 的垂直平分線， 是 的中點， ，
， 四邊形 是矩形.
∵ ， ， ， ，
，
， 四邊形 的面積為 .
7.D 解析：①根據(jù)作圖的過程可知， 是 的平分線，故①正確.
②因為在△ 中， 90， 30，所以 60.
又因為 是 的平分線，所以 30，
所以 90 60，故②正確.
③因為 30，所以 ，所以點 在 的中垂線上，故③正確.
�、芤驗樵� 中， 30,所以 ，
所以 ，所以 .
因為 ，
所以 ，
所以 ，故④正確.
綜上所述，正確的結(jié)論是①②③④，共有4個，故選D.
8.D 解析： 與60的大小關(guān)系有 ， ， 三種情況，因而 的反面是 .因此用反證法證明 時，應先假設 .故選D.
9.A 解析：由題意知 ， ，
10.A 解析：由折疊的性質(zhì)知 ，則四邊形 為正方形，
.
11. 或 或 (答案不唯一)
12.如果 ，那么 假 解析：根據(jù)題意知，命題如果 ，那么 的條件是 ，結(jié)論是 ，故逆命題是如果 ，那么 ，該命題是假命題.
13. (或 ， 等)
14.5 解析：∵ 分別是 和 的角平分線，
， .
∵ ， ， ， ，
， ， ，
的周長 .
15.28 解析：由勾股定理得 ，又 ，所以 ，
所以五個小矩形的周長之和為 .
16.2 解析： .
∵ 在等腰梯形 中， ，
.
∵ , .
.
17. ①② 解析：對于③，因為 ，其中 分別是梯形上底的長、下底的長及高，而梯形中位線 ，所以 ，即梯形的面積等于梯形的中位線與高的乘積.
18.直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方 解析：本題是一道開放型題目，只要保證命題是真命題即可.
19.證明：假設 可以互相平分，如圖，
連接 ，則四邊形 是平行四邊形，
，這與 相矛盾.
不可能互相平分.
20.證明：如果 不都能被3整除，那么有如下兩種情況：
(1) 兩數(shù)中恰有一個能被3整除，
不妨設 能被3整除， 不能被3整除，
令 ( 都是整數(shù))，
于是 ，
不能被3整除，與已知矛盾.
(2) 兩數(shù)都不能被3整除，令 ( 都是整數(shù))，則
，
不能被3整除，與已知矛盾.
由此可知， 都是3的倍數(shù).
21.證明：∵ 四邊形 是平行四邊形， ，
，故 .
22.(1)證明：由題意知 ， ， .
∵ ， .
又∵ ， ， ， 四邊形 是平行四邊形 .
(2)解：當 時，四邊形 是菱形 .理由如下：
∵ ， .∵ 垂直平分 ， .
又∵ ， ， ， 平行四邊形 是菱形.
23.證明:∵ 四邊形 是平行四邊形,
.
在 和 中， ，
， .
24.證明：∵ ， .
∵ 于點 ， ，
. .
∵ ， . △ 是等腰三角形.
25.(1)證明：在△ 中， ， ， .
∵ 是△ 外角 的平分線，
， .
又∵ ， ， ，
四邊形 為矩形.
(2)解：給出正確條件即可.
例如，當 時，四邊形 是正方形.
∵ ， 于點 ， .
又∵ ， .
由(1)知四邊形 為矩形， 矩形 是正方形.
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