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全國高中數學聯賽模擬試題1及答案
全國高中數學聯賽模擬試題（一）
第一試
一、 選擇題：（每小題6分，共36分）
1、方程6×(5a2＋b2)＝5c2滿足c≤20的正整數解(a,b,c)的個數是
（A）1 （B）3 （C）4 （D）5
x22、函數y （x∈R，x≠1）的遞增區間是
x 1
（A）x≥2 （C）x≤0
（B）x≤0或x≥2 （D）x≤1 2或x≥2
3、過定點P(2,1)作直線l分別交x軸正向和y軸正向于A、B，使△AOB（O
為原點）的面積最小，則l的方程為 （A）x＋y－3＝0 （B）x＋3y－5＝0 （C）2x＋y－5＝0 （D）x＋2y－4＝0
4、若方程cos2x＋3sin2x＝a＋1在 0, 上有兩個不同的實數解x，則參
2
數a的取值范圍是 （A）0≤a＜1 （B）－3≤a＜1 （C）a＜1 （D）0＜a＜1 5、數列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,…的第1000項是
（A）42 （B）45 （C）48 （D）51
6、在1,2,3,4,5的排列a1,a2,a3,a4,a5中，滿足條件a1＜a2，a2＞a3，a3＜a4，a4
＞a5的排列的個數是 （A）8 （B）10 （C）14 （D）16
二、 填空題：（每小題9分，共54分）
1、[x]表示不大于x的最大整數，則方程
1
×[x2＋x]＝19x＋99的實數解x2
是 ．
2、設a1＝1，an+1＝2an＋n2，則通項公式an＝ ． 3、數799被2550除所得的余數是 ．
5
4、在△ABC中，∠A＝，sinB＝，則cosC＝ ．
313
5、設k、 是實數，使得關于x的方程x2－(2k＋1)x＋k2－1＝0的兩個根為
sin 和cos ，則 的取值范圍是． 6、數5 24
2n
（n∈N）的個位數字是
三、 （20分）
已知x、y、z都是非負實數，且x＋y＋z＝1．
求證：x(1－2x)(1－3x)＋y(1－2y)(1－3y)＋z(1－2z)(1－3z)≥0，并確定等號成立的條件．
四、 （20分）
（1） 求出所有的實數a，使得關于x的方程x2＋(a＋2002)x＋a＝0的兩根
皆為整數．
（2） 試求出所有的實數a，使得關于x的方程x3＋(－a2＋2a＋2)x－2a2－
2a＝0有三個整數根．
五、 （20分）
試求正數r的最大值，使得點集T＝{(x,y)|x、y∈R，且x2＋(y－7)2≤r2}一定被包含于另一個點集S＝{(x,y)|x、y∈R，且對任何 ∈R，都有cos2 ＋xcos ＋y≥0}之中．
第二試
一、（50分）
設a、b、c∈R，b≠ac，a≠－c，z是復數，且z2－(a－c)z－b＝0．
a2 b a c z
求證： 1的充分必要條件是(a－c)2＋4b≤0．
ac b
二、（50分）
如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB均是銳角，
D是BC邊上的內點，且AD平分∠BAC，過點D分別向兩條直線AB、AC作垂線DP、DQ，其垂足是P、Q，兩條直線CP與BQ相交與點K．求證： （1） AK⊥BC；
（2） AK AP AQ
2S△ABC
，其中S△ABC表BC
示△ABC的面積．
三、（50分）
給定一個正整數n，設n個實數a1,a2,…,an滿足下列n個方程：
ai4
(j 1,2,3, ,n)． i j2j 1i 1
n
確定和式S
i 1
n
ai
的值（寫成關于n的最簡式子）． 2i 1
參考答案
第一試
二、填空題：
1811587
1、 或；
3838
3、343；
2、7×2n-1－n2－2n－3； 4、
53 12
； 26
5、{ | ＝2n ＋ 或2n －
，n∈Z} ；6、1（n為偶數）；7（n為奇數）． 2
1 1 1
x z y z 1 x y
三、證略，等號成立的條件是x y z 或 2或 2或 2．
3 z 0 y 0 z 0四、（1）a的可能取值有0，－1336，－1936，－1960，－2664，－4000，－2040；
（2）a的可能取值有－3，11，－1，9．
五、rmax＝42．
第二試
a c a c 4b i
一、證略（提示：直接解出z ，通過變形即得充分性成
2
2
立，然后利用反證法證明必要性）．
二、證略（提示：用同一法，作出BC邊上的高AR，利用塞瓦定理證明AR、BQ、
CP三線共點，從而AK⊥BC；記AR與PQ交于點T，則AQ＝AP，對于AK＜AP，可證∠APK＜∠AKP）．
三、S
1
2S△ABC
＝AR＞AT＞BC
2n 12
1．
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