小學歸納法的奧數(shù)計算試題
1.用數(shù)學歸納法證明"當n為正偶數(shù)為xn-yn能被x+y整除"第一步應(yīng)驗證n=__________時,命題成立;第二步歸納假設(shè)成立應(yīng)寫成_____________________.
2.數(shù)學歸納法證明3能被14整除的過程中,當n=k+1時,3應(yīng)變形為____________________.
3.數(shù)學歸納法證明1+3+9+…+3
4.求證n能被9整除.
答案：
1.x2k-y2k能被x+y整除
因為n為正偶數(shù),故第一值n=2,第二步假設(shè)n取第k個正偶數(shù)成立,即n=2k,故應(yīng)假設(shè)成x2k-y2k能被x+y整除.
2.25(34k+2+52k+1)+56·32k+2
當n=k+1時,34(k+1)+2+52(k+1)+1=81·34k+2+25·52k+1=25(34k2+52k+1)+56·33k+2
3.證明(1)當n=1時,左=1,右=(31-1)=1,命題成立.
(2)假設(shè)n=k時,命題成立,即:1+3+9+…3k-1=(3k-1),則當n=k+1時,1+3+9+…+3k-1+3k=(3k-1)+3k=(3k+1-1),即n=k+1命題成立.
4.證明(1)當n=1時,13+(1+1)3+(1+2)3=36能被9整除.
(2)假設(shè)n=k時成立即:k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除,當k=n+1時
(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3=k3+(k+1)3+(k+2)3+9k2+9k+27=k3+(k+1)3+(k+2)3+9(k2+k+3)能被9整除
由(1),(2)可知原命題成立.
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