同底數冪的乘法教案設計
同底數冪的乘法教案設計
§1.3同底數冪的乘法
●教學目標
(一)教學知識點
1.經歷探索同底數冪的乘法運算性質的過程，進一步體會冪的意義.
2.了解同底數冪乘法的運算性質，并能解決一些實際問題.
(二)能力訓練要求
1.在進一步體會冪的意義時，發(fā)展推理能力和有條理的表達能力.
2.學習同底冪乘法的運算性質，提高解決問題的能力.
(三)情感與價值觀要求
在發(fā)展推理能力和有條理的表達能力的同時，體會學習數學的興趣，培養(yǎng)學習數學的信心.
●教學重點
同底數冪的乘法運算法則及其應用.
●教學難點
同底數冪的乘法運算法則的靈活運用.
●教學方法
引導啟發(fā)法
教師引導學生在回憶冪的意義的基礎上，通過特例的推理，再到一般結論的推出，啟發(fā)學生應用舊知識解決新問題，得出新結論，并能靈活運用.
●教具準備
小黑板
●教學過程
Ⅰ.創(chuàng)設問題情景，引入新課
［師］同學們還記得“an”的意義嗎？
［生］an表示n個a相乘，我們把這種運算叫做乘方.乘方的結果叫冪，a叫做底數，n是指數.
［師］我們回憶了冪的意義后，下面看這一章最開始提出的問題(出示投影片§1.3 A):
問題1：光的速度約為3×105千米/秒，太陽光照射到地球上大約需要5×102秒，地球距離太陽大約有多遠？
問題2：光在真空中的速度大約是3×105千米/秒，太陽系以外距離地球最近的恒星是比鄰星，它發(fā)出的光到達地球大約需4.22年.一年以3×107秒計算，比鄰星與地球的距離約為多少千米？
［生］根據距離=速度×時間，可得：
地球距離太陽的距離為：3×105×5×102=3×5×(105×102)(千米)
比鄰星與地球的距離約為：3×105×3×107×4.22=37.98×(105×107)(千米)
［師］105×102，105×107如何計算呢？
［生］根據冪的意義：
105×102= ×
=
=107
105×107
=
=
［師］很棒！我們觀察105×102可以發(fā)現105、102這兩個因數是同底的冪的形式，所以105×102我們把這種運算叫做同底數冪的乘法，105×107也是同底數冪的乘法.
由問題1和問題2不難看出，我們有必要研究和學習這樣一種運算——同底數冪的乘法.
Ⅱ.學生通過做一做、議一議，推導出同底數冪的乘法的運算性質
1.做一做
計算下列各式：
(1)102×103；
(2)105×108；
(3)10m×10n(m,n都是正整數)
你發(fā)現了什么？注意觀察計算前后底數和指數的關系，并能用自己的語言加以描述.
(4)2m×2n等于什么？( )m×( )n呢，(m,n都是正整數).
［師］根據冪的意義，同學們可以獨立解決上述問題.
［生］(1)102×103=(10×10)×(10×10×10)=105=102+3
因為102的意義表示兩個10相乘；103的意義表示三個10相乘.根據乘方的意義5個10相乘就表示105同樣道理，可求得：
(2)105×108
= ×
=1013=105+8
(3)10m×10n
= ×
=10m+n
從上面三個小題可以發(fā)現，底數都為10的冪相乘后的結果底數仍為10，指數為兩個同底的冪的指數和.
［師］很好！底數不同10的同底的冪相乘后的結果如何呢？接著我們來利用冪的意義分析第(4)小題.
［生］(4)2m×2n
= ×
=2m+n
( )m×( )n
= ×
=( )m+n
我們可以發(fā)現底數相同的冪相乘的結果的底數和原來底數相同，指數是原來兩個冪的指數的和.
2.議一議
出示投影片(§1.3 C)
am?an等于什么(m,n都是正整數)？為什么？
［師生共析］am?an表示同底的冪的乘法，根據冪的意義，可得
am?an= ?
= =am+n
即有am?an=am+n(m,n都是正整數)
用語言來描述此性質，即為：
同底數冪相乘，底數不變，指數相加.
［師］同學們不妨再來深思，為什么同底數冪相乘，底數不變，指數相加呢？即為什么am?an=am+n呢？
［生］am表示m個a相乘，an表示n個a相乘，am?an表示m個a相乘再乘以n個a相乘，即有(m+n)個a相乘，根據乘方的意義可得am?an=am+n.
［師］也就是說同底數冪相乘，底數不變，指數要降低一級運算，變?yōu)橄嗉?
Ⅲ.例題講解
［例1］計算：
(1)(－3)7×(－3)6；(2)( )3×( )；
(3)－x3?x5;(4)b2m?b2m+1.
［例2］用同底數冪乘法的性質計算投影片(§1.3 A)中的問題1和問題2.
［師］我們先來看例1中的四個小題，是不是都能用同底數冪的乘法的性質呢？
［生］(1)、(2)、(4)都能直接用同底數冪乘法的性質——底數不變，指數相加.
［生］(3)也能用同底數冪乘法的性質.因為－x3?x5中的－x3相當于(－1)×x3,也就是說－x3的底數是x,x5的底數也為x,只要利用乘法結合律即可得出.
［師］下面我就叫四個同學板演.
［生］解：(1)(－3)7×(－3)6=(－3)7+6=(－3)13；
(2)( )3×( )=( )3+1=( )4；
(3)－x3?x5=［(－1)×x3］?x5=(－1)［x3?x5］=－x8;
(4)b2m?b2m+1=b2m+2m+1=b4m+1.
［師］我們接下來看例2.
［生］問題1中地球距離太陽大約為：
3×105×5×102
=15×107
=1.5×108(千米)
據測算，飛行這么遠的距離，一架噴氣式客機大約要20年.
問題2中比鄰星與地球的距離約為：
3×105×3×107×4.22=37.98×1012=3.798×1013(千米)
想一想：am?an?ap等于什么？
［生］am?an?ap=(am?an)?ap=am+n?ap=am+n+p;
［生］am?an?ap=am?(an?ap)=am?an+p=am+n+p;
［生］am?an?ap= ? ? =am+n+p.
Ⅳ.練習
1.隨堂練習(課本P14)：計算
(1)52×57;(2)7×73×72;(3)－x2?x3;(4)(－c)3?(－c)m.
解：(1)52×57=59；
(2)7×73×72=71+3+2=76；
(3)－x2?x3=－(x2?x3)=－x5;
(4)(－c)3?(－c)m=(－c)3+m.
2.補充練習：判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)x3?x5=x15 ( )
(2)x?x3=x3 ( )
(3)x3+x5=x8 ( )
(4)x2?x2=2x4 ( )
(5)(－x)2?(－x)3=(－x)5=－x5 ( )
(6)a3?a2－a2?a3=0 ( )
(7)a3?b5=(ab)8 ( )
(8)y7+y7=y14 ( )
解：(1)×.因為x3?x5是同底數冪的乘法，運算性質應是底數不變，指數相加，即x3?x5=x8.
(2)×.x?x3也是同底數冪的乘法，但切記x的指數是1，不是0，因此x?x3=x1+3=x4.
(3)×.x3+x5不是同底數冪的乘法，因此不能用同底數冪乘法的性質進行運算，同時x3+x5是兩個單項式相加，x3和x5不是同類項，因此x3+x5不能再進行運算.
(4)×.x2?x2是同底數冪的乘法，直接用運算性質應為x2?x2=x2+2=x4.
(5)√.
(6)√.因為a3?a2－a2?a3=a5－a5=0.
(7)×.a3?b5中a3與b5這兩個冪的底數不相同.
(8)×.y7+y7是整式的加法且y7與y7是同類項，因此應用合并同類項法則，得出y7+y7=2y7.
Ⅴ.課時小結
［師］這節(jié)課我們學習了同底數冪的乘法的運算性質，請同學們談一下有何新的收獲和體會呢？
［生］在探索同底數冪乘法的性質時，進一步體會了冪的意義.了解了同底數冪乘法的運算性質.
［生］同底數冪的乘法的運算性質是底數不變，指數相加.應用這個性質時，我覺得應注意兩點：一是必須是同底數冪的乘法才能運用這個性質；二是運用這個性質計算時一定是底數不變，指數相加.即am?an=am+n(m、n是正整數).
Ⅵ.課后作業(yè)
課本習題1.4第1、2、3題
Ⅶ.活動與探究
§1.3同底數冪的乘法
一、提出問題：地球到太陽的距離為15×(105×102)千米，如何計算105×102.
二、結合冪的運算性質，推出同底數冪乘法的運算性質.
(1)105×102=(10×10×10×10×10)×(10×10)=107=105+2;
(2)105×108= × =1013=105+8；
(3)10m×10n= × =10m+n;
(4)2m×2n= × =2m+n;
(5)( )m×( )n= × =( )m+n;
綜上所述，可得
am?an= × =am+n
(其中m、n為正整數)
三、例題：(由學生板演，教師和學生共同講評)
四、練習：(分組完成)
●備課資料
一、參考例題
［例1］計算：
(1)(－a)2?(－a)3(2)a5?a2?a
分析：(1)中的兩個冪的底數都是－a;(2)中三個冪的底數都是a.根據同底數冪的乘法的運算性質：底數不變，指數相加.
解：(1)(－a)2?(－a)3
=(－a)2+3=(－a)5
=－a5.
(2)a5?a2?a=a5+2+1=a8
評注：(2)中的“a”的指數為1，而不是0.
［例2］計算：
(1)a3?(－a)4
(2)－b2?(－b)2?(－b)3
分析：底數的符號不同，要把它們的底數化成同底的形式再運算，運算過程中要注意符號.
解：(1)a3?(－a)4=a3?a4=a3+4=a7;
(2)－b2?(－b)2?(－b)3
=－b2?b2?(－b3)
=b2?b2?b3=b7.
評注：(1)中的(－a)4必須先化為a4,才可運用同底數冪的乘法性質計算；(2)中－b2和(－b)2不相同，－b2表示b2的相反數，底數為b,而不是－b,(－b)2表示－b的平方，它的底數是－b,且(－b)2=(+b)2,所以(－b)2=b2,而(－b)3=－b3.
［例3］計算：
(1)(2a+b)2n+1?(2a+b)3?(2a+b)m－1
(2)(x－y)2(y－x)3
分析：分別把(2a+b),(x－y)看成一個整體，(1)是三個同底數冪相乘；(2)中底不相同，可把(x－y)2化為(y－x)2或把(y－x)3化為－(x－y)3,使底相同后運算.
解：(1)(2a+b)2n+1?(2a+b)3?(2a+b)m－1
=(2a+b)2n+1+3+m－1
=(2a+b)2n+m+3
(2)解法一：(x－y)2?(y－x)3
=(y－x)2?(y－x)3
=(y－x)5
解法二：(x－y)2?(y－x)3
=－(x－y)2(x－y)3
=－(x－y)5
評注：(2)中的兩個冪必須化為同底再運算，采用兩種化同底的方法運算得到的結果是相同的.
［例4］計算：
(1)x3?x3(2)a6+a6(3)a?a4
分析：運用冪的運算性質進行運算時，常會出現如下錯誤：am?an=amn,am+an=am+n.例如(1)易錯解為x3?x3=x9;(2)易錯解為a6+a6=a12;(3)易錯解為a?a4=a4,而(1)中3和3應相加；(2)是合并同類項；(3)也是易忽略的地方，把a的指數1看成0.
解：(1)x3?x3=x3+3=x6;(2)a6+a6=2a6;(3)a?a4=a1+4=a5
二、在同底數冪的乘法常用的幾種恒等變形.
(a－b)=－(b－a)
(a－b)2=(b－a)2
(a－b)3=－(b－a)3
(a－b)2n－1=－(b－a)2n－1(n為正整數)
(a－b)2n=(b－a)2n(n為正整數)
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