高一數(shù)學(xué)必修一知識點總結(jié)

    時間:2024-05-17 09:44:02 知識點總結(jié) 我要投稿

    高一數(shù)學(xué)必修一知識點總結(jié)

      總結(jié)是指對某一階段的工作、學(xué)習(xí)或思想中的經(jīng)驗或情況加以總結(jié)和概括的書面材料,它能使我們及時找出錯誤并改正,因此十分有必須要寫一份總結(jié)哦。那么我們該怎么去寫總結(jié)呢?以下是小編整理的高一數(shù)學(xué)必修一知識點總結(jié),供大家參考借鑒,希望可以幫助到有需要的朋友。

    高一數(shù)學(xué)必修一知識點總結(jié)

    高一數(shù)學(xué)必修一知識點總結(jié)1

      數(shù)學(xué)是利用符號語言研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化以及空間模型等概念的一門學(xué)科。小編準備了高一數(shù)學(xué)必修1期末考知識點,希望你喜歡。

      一、集合有關(guān)概念

      1、集合的含義:某些指定的對象集在一起就成為一個集合,其中每一個對象叫元素.

      2、集合的中元素的三個特性:

      1.元素的確定性; 2.元素的互異性; 3.元素的無序性

      說明:(1)對于一個給定的集合,集合中的元素是確定的,任何一個對象或者是或者不是這個給定的集合的元素.

      (2)任何一個給定的集合中,任何兩個元素都是不同的對象,相同的對象歸入一個集合時,僅算一個元素.

      (3)集合中的元素是平等的,沒有先后順序,因此判定兩個集合是否一樣,僅需比較它們的元素是否一樣,不需考查排列順序是否一樣.

      (4)集合元素的三個特性使集合本身具有了確定性和整體性.

      3、集合的表示:{ } 如{我校的籃球隊員},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

      1. 用拉丁字母表示集合:A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}

      2.集合的表示方法:列舉法與描述法.

      注意啊:常用數(shù)集及其記法:

      非負整數(shù)集(即自然數(shù)集)記作:N

      正整數(shù)集 N*或N+ 整數(shù)集Z 有理數(shù)集Q 實數(shù)集R

      關(guān)于屬于的概念

      集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示,如:a是集合A的元素,就說a屬于集合A 記作 aA ,相反,a不屬于集合A 記作 a?A

      列舉法:把集合中的元素一一列舉出來,然后用一個大括號括上.

      描述法:將集合中的元素的公共屬性描述出來,寫在大括號內(nèi)表示集合的方法.用確定的條件表示某些對象是否屬于這個集合的方法.

      ①語言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}

      ②數(shù)學(xué)式子描述法:例:不等式x-32的解集是{x?R| x-32}或{x| x-32}

      4、集合的分類:

      1.有限集 含有有限個元素的集合

      2.無限集 含有無限個元素的集合

      3.空集 不含任何元素的集合 例:{x|x2=-5}

      二、集合間的基本關(guān)系

      1.包含關(guān)系子集

      注意: 有兩種可能(1)A是B的一部分,;(2)A與B是同一集合.

      反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作A B或B A

      2.相等關(guān)系(55,且55,則5=5)

      實例:設(shè) A={x|x2-1=0} B={-1,1} 元素相同

      結(jié)論:對于兩個集合A與B,如果集合A的任何一個元素都是集合B的`元素,同時,集合B的任何一個元素都是集合A的元素,我們就說集合A等于集合B,即:A=B

      ① 任何一個集合是它本身的子集.AA

      ②真子集:如果AB,且A1 B那就說集合A是集合B的真子集,記作A B(或B A)

      ③如果 AB, BC ,那么 AC

      ④ 如果AB 同時 BA 那么A=B

      3. 不含任何元素的集合叫做空集,記為

      規(guī)定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集.

      三、集合的運算

      1.交集的定義:一般地,由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集.

      記作AB(讀作A交B),即AB={x|xA,且xB}.

      2、并集的定義:一般地,由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合,叫做A,B的并集.記作:AB(讀作A并B),即AB={x|xA,或xB}.

      3、交集與并集的性質(zhì):AA = A, A=, AB = BA,AA = A,

      A= A ,AB = BA.

      4、全集與補集

      (1)補集:設(shè)S是一個集合,A是S的一個子集(即 ),由S中所有不屬于A的元素組成的集合,叫做S中子集A的補集(或余集)

      (2)全集:如果集合S含有我們所要研究的各個集合的全部元素,這個集合就可以看作一個全集.通常用U來表示.

      (3)性質(zhì):⑴CU(C UA)=A ⑵(C UA) ⑶(CUA)A=U

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      集合的運算

      運算類型交 集并 集補 集

      定義域 R定義域 R

      值域>0值域>0

      在R上單調(diào)遞增在R上單調(diào)遞減

      非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)

      函數(shù)圖象都過定點(0,1)函數(shù)圖象都過定點(0,1)

      注意:利用函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合圖象還可以看出:

      (1)在[a,b]上, 值域是 或 ;

      (2)若 ,則 ; 取遍所有正數(shù)當(dāng)且僅當(dāng) ;

      (3)對于指數(shù)函數(shù) ,總有 ;

      二、對數(shù)函數(shù)

      (一)對數(shù)

      1.對數(shù)的概念:

      一般地,如果 ,那么數(shù) 叫做以 為底 的對數(shù),記作: ( — 底數(shù), — 真數(shù), — 對數(shù)式)

      說明:○1 注意底數(shù)的限制 ,且 ;

      ○2 ;

      ○3 注意對數(shù)的書寫格式.

      兩個重要對數(shù):

      ○1 常用對數(shù):以10為底的對數(shù) ;

      ○2 自然對數(shù):以無理數(shù) 為底的對數(shù)的對數(shù) .

      指數(shù)式與對數(shù)式的互化

      冪值 真數(shù)

      = N = b

      底數(shù)

      指數(shù) 對數(shù)

      (二)對數(shù)的運算性質(zhì)

      如果 ,且 , , ,那么:

      ○1 + ;

      ○2 - ;

      ○3 .

      注意:換底公式: ( ,且 ; ,且 ; ).

      利用換底公式推導(dǎo)下面的結(jié)論:(1) ;(2) .

      (3)、重要的公式 ①、負數(shù)與零沒有對數(shù); ②、 , ③、對數(shù)恒等式

      (二)對數(shù)函數(shù)

      1、對數(shù)函數(shù)的概念:函數(shù) ,且 叫做對數(shù)函數(shù),其中 是自變量,函數(shù)的定義域是(0,+∞).

      注意:○1 對數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似,都是形式定義,注意辨別。如: , 都不是對數(shù)函數(shù),而只能稱其為對數(shù)型函數(shù).

      ○2 對數(shù)函數(shù)對底數(shù)的限制: ,且 .

      2、對數(shù)函數(shù)的'性質(zhì):

      a>10

      定義域x>0定義域x>0

      值域為R值域為R

      在R上遞增在R上遞減

      函數(shù)圖象都過定點(1,0)函數(shù)圖象都過定點(1,0)

      (三)冪函數(shù)

      1、冪函數(shù)定義:一般地,形如 的函數(shù)稱為冪函數(shù),其中 為常數(shù).

      2、冪函數(shù)性質(zhì)歸納.

      (1)所有的冪函數(shù)在(0,+∞)都有定義并且圖象都過點(1,1);

      (2) 時,冪函數(shù)的圖象通過原點,并且在區(qū)間 上是增函數(shù).特別地,當(dāng) 時,冪函數(shù)的圖象下凸;當(dāng) 時,冪函數(shù)的圖象上凸;

      (3) 時,冪函數(shù)的圖象在區(qū)間 上是減函數(shù).在第一象限內(nèi),當(dāng) 從右邊趨向原點時,圖象在 軸右方無限地逼近 軸正半軸,當(dāng) 趨于 時,圖象在 軸上方無限地逼近 軸正半軸.

      第四章 函數(shù)的應(yīng)用

      一、方程的根與函數(shù)的零點

      1、函數(shù)零點的概念:對于函數(shù) ,把使 成立的實數(shù) 叫做函數(shù) 的零點。

      2、函數(shù)零點的意義:函數(shù) 的零點就是方程 實數(shù)根,亦即函數(shù) 的圖象與 軸交點的橫坐標。

      即:方程 有實數(shù)根 函數(shù) 的圖象與 軸有交點 函數(shù) 有零點.

      3、函數(shù)零點的求法:

      ○1 (代數(shù)法)求方程 的實數(shù)根;

      ○2 (幾何法)對于不能用求根公式的方程,可以將它與函數(shù) 的圖象聯(lián)系起來,并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點.

      4、二次函數(shù)的零點:

      二次函數(shù) .

      (1)△>0,方程 有兩不等實根,二次函數(shù)的圖象與 軸有兩個交點,二次函數(shù)有兩個零點.

      (2)△=0,方程 有兩相等實根,二次函數(shù)的圖象與 軸有一個交點,二次函數(shù)有一個二重零點或二階零點.

      (3)△<0,方程 無實根,二次函數(shù)的圖象與 軸無交點,二次函數(shù)無零點.

      5.函數(shù)的模型

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      空間兩條直線只有三種位置關(guān)系:平行、相交、異面

      1、按是否共面可分為兩類:

      1共面:平行、相交

      2異面:

      異面直線的定義:不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線或既不平行也不相交。

      異面直線判定定理:用平面內(nèi)一點與平面外一點的直線,與平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線。

      兩異面直線所成的角:范圍為0°,90°esp.空間向量法

      兩異面直線間距離:公垂線段有且只有一條esp.空間向量法

      2、若從有無公共點的角度看可分為兩類:

      1有且僅有一個公共點——相交直線;2沒有公共點——平行或異面

      直線和平面的位置關(guān)系:

      直線和平面只有三種位置關(guān)系:在平面內(nèi)、與平面相交、與平面平行

      ①直線在平面內(nèi)——有無數(shù)個公共點

      ②直線和平面相交——有且只有一個公共點

      直線與平面所成的角:平面的一條斜線和它在這個平面內(nèi)的射影所成的銳角。

      空間向量法找平面的法向量

      規(guī)定:a、直線與平面垂直時,所成的角為直角,b、直線與平面平行或在平面內(nèi),所成的角為0°角

      由此得直線和平面所成角的取值范圍為[0°,90°]

      最小角定理:斜線與平面所成的角是斜線與該平面內(nèi)任一條直線所成角中的最小角

      三垂線定理及逆定理:如果平面內(nèi)的一條直線,與這個平面的一條斜線的射影垂直,那么它也與這條斜線垂直

      直線和平面垂直

      直線和平面垂直的定義:如果一條直線a和一個平面內(nèi)的任意一條直線都垂直,我們就說直線a和平面互相垂直.直線a叫做平面的垂線,平面叫做直線a的垂面。

      直線與平面垂直的判定定理:如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,那么這條直線垂直于這個平面。

      直線與平面垂直的性質(zhì)定理:如果兩條直線同垂直于一個平面,那么這兩條直線平行。③直線和平面平行——沒有公共點

      直線和平面平行的定義:如果一條直線和一個平面沒有公共點,那么我們就說這條直線和這個平面平行。

      直線和平面平行的判定定理:如果平面外一條直線和這個平面內(nèi)的一條直線平行,那么這條直線和這個平面平行。

      直線和平面平行的性質(zhì)定理:如果一條直線和一個平面平行,經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交,那么這條直線和交線平行。

      多面體

      1、棱柱

      棱柱的定義:有兩個面互相平行,其余各面都是四邊形,并且每兩個四邊形的公共邊都互相平行,這些面圍成的幾何體叫做棱柱。

      棱柱的性質(zhì)

      1側(cè)棱都相等,側(cè)面是平行四邊形

      2兩個底面與平行于底面的截面是全等的多邊形

      3過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面對角面是平行四邊形

      2、棱錐

      棱錐的定義:有一個面是多邊形,其余各面都是有一個公共頂點的'三角形,這些面圍成的幾何體叫做棱錐

      棱錐的性質(zhì):

      1側(cè)棱交于一點。側(cè)面都是三角形

      2平行于底面的截面與底面是相似的多邊形。且其面積比等于截得的棱錐的高與遠棱錐高的比的平方

      3、正棱錐

      正棱錐的定義:如果一個棱錐底面是正多邊形,并且頂點在底面內(nèi)的射影是底面的中心,這樣的棱錐叫做正棱錐。

      正棱錐的性質(zhì):

      1各側(cè)棱交于一點且相等,各側(cè)面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底邊上的高相等,它叫做正棱錐的斜高。

      3多個特殊的直角三角形

      a、相鄰兩側(cè)棱互相垂直的正三棱錐,由三垂線定理可得頂點在底面的射影為底面三角形的垂心。

      b、四面體中有三對異面直線,若有兩對互相垂直,則可得第三對也互相垂直。且頂點在底面的射影為底面三角形的垂心。

      兩個平面的位置關(guān)系

      1兩個平面互相平行的定義:空間兩平面沒有公共點

      2兩個平面的位置關(guān)系:

      兩個平面平行-----沒有公共點;兩個平面相交-----有一條公共直線。

      a、平行

      兩個平面平行的判定定理:如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面,那么這兩個平面平行。

      兩個平面平行的性質(zhì)定理:如果兩個平行平面同時和第三個平面相交,那么交線平行。b、相交

      二面角

      1半平面:平面內(nèi)的一條直線把這個平面分成兩個部分,其中每一個部分叫做半平面。

      2二面角:從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角。二面角的取值范圍為[0°,180°]

      3二面角的棱:這一條直線叫做二面角的棱。

      4二面角的面:這兩個半平面叫做二面角的面。

      5二面角的平面角:以二面角的棱上任意一點為端點,在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線,這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。

      6直二面角:平面角是直角的二面角叫做直二面角。

      兩平面垂直

      兩平面垂直的定義:兩平面相交,如果所成的角是直二面角,就說這兩個平面互相垂直。記為⊥

      兩平面垂直的判定定理:如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線,那么這兩個平面互相垂直

      兩個平面垂直的性質(zhì)定理:如果兩個平面互相垂直,那么在一個平

      二面角求法:直接法作出平面角、三垂線定理及逆定理、面積射影定理、空間向量之法向量法注意求出的角與所需要求的角之間的等補關(guān)系。

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      知識點總結(jié)

      本節(jié)知識包括函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的周期性、函數(shù)的最值、函數(shù)的對稱性和函數(shù)的圖象等知識點。函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的周期性、函數(shù)的最值、函數(shù)的對稱性是學(xué)習(xí)函數(shù)的圖象的基礎(chǔ),函數(shù)的圖象是它們的綜合。所以理解了前面的幾個知識點,函數(shù)的圖象就迎刃而解了。

      一、函數(shù)的單調(diào)性

      1、函數(shù)單調(diào)性的定義

      2、函數(shù)單調(diào)性的判斷和證明:(1)定義法 (2)復(fù)合函數(shù)分析法 (3)導(dǎo)數(shù)證明法 (4)圖象法

      二、函數(shù)的奇偶性和周期性

      1、函數(shù)的奇偶性和周期性的定義

      2、函數(shù)的奇偶性的判定和證明方法

      3、函數(shù)的周期性的判定方法

      三、函數(shù)的圖象

      1、函數(shù)圖象的作法 (1)描點法 (2)圖象變換法

      2、圖象變換包括圖象:平移變換、伸縮變換、對稱變換、翻折變換。

      常見考法

      本節(jié)是段考和高考必不可少的考查內(nèi)容,是段考和高考考查的重點和難點。選擇題、填空題和解答題都有,并且題目難度較大。在解答題中,它可以和高中數(shù)學(xué)的每一章聯(lián)合考查,多屬于拔高題。多考查函數(shù)的`單調(diào)性、最值和圖象等。

      誤區(qū)提醒

      1、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,必須先求函數(shù)的定義域,即遵循“函數(shù)問題定義域優(yōu)先的原則”。

      2、單調(diào)區(qū)間必須用區(qū)間來表示,不能用集合或不等式,單調(diào)區(qū)間一般寫成開區(qū)間,不必考慮端點問題。

      3、在多個單調(diào)區(qū)間之間不能用“或”和“ ”連接,只能用逗號隔開。

      4、判斷函數(shù)的奇偶性,首先必須考慮函數(shù)的定義域,如果函數(shù)的定義域不關(guān)于原點對稱,則函數(shù)一定是非奇非偶函數(shù)。

      5、作函數(shù)的圖象,一般是首先化簡解析式,然后確定用描點法或圖象變換法作函數(shù)的圖象。

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      集合間的基本關(guān)系

      1.“包含”關(guān)系—子集

      注意: 有兩種可能(1)A是B的一部分,;(2)A與B是同一集合。 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作A B或B A

      2.“相等”關(guān)系(5≥5,且5≤5,則5=5)

      實例:設(shè) A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同”

      結(jié)論:對于兩個集合A與B,如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素,同時,集合B的任何一個元素都是集合A的元素,我們就說集合A等于集合B,即:A=B

      A?① 任何一個集合是它本身的子集。A

      B那就說集合A是集合B的'真子集,記作A B(或B A)?B,且A?②真子集:如果A

      C?C ,那么 A?B, B?③如果 A

      A 那么A=B?B 同時 B?④ 如果A

      3. 不含任何元素的集合叫做空集,記為Φ

      規(guī)定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。

      集合的運算

      1.交集的定義:一般地,由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集.

      記作A∩B(讀作”A交B”),即A∩B={x|x∈A,且x∈B}.

      2、并集的定義:一般地,由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合,叫做A,B的并集。記作:A∪B(讀作”A并B”),即A∪B={x|x∈A,或x∈B}.

      3、交集與并集的性質(zhì):A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A,A∪A = A, A∪φ= A ,A∪B = B∪A.

      4、全集與補集

      (1)補集:設(shè)S是一個集合,A是S的一個子集(即 ),由S中所有不屬于A的元素組成的集合,叫做S中子集A的補集(或余集)

      A}?S且 x? x?記作: CSA 即 CSA ={x

      (2)全集:如果集合S含有我們所要研究的各個集合的全部元素,這個集合就可以看作一個全集。通常用U來表示。

      (3)性質(zhì):⑴CU(C UA)=A ⑵(C UA)∩A=Φ ⑶(CUA)∪A=U

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      集合的運算

      1。交集的定義:一般地,由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集。

      記作AB(讀作A交B),即AB={x|xA,且xB}。

      2、并集的定義:一般地,由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合,叫做A,B的并集。記作:AB(讀作A并B),即AB={x|xA,或xB}。

      3、交集與并集的性質(zhì):AA=A,A=,AB=BA,AA=A,A=A,AB=BA。

      4、全集與補集

      (1)補集:設(shè)S是一個集合,A是S的`一個子集(即),由S中所有不屬于A的元素組成的集合,叫做S中子集A的補集(或余集)

      (2)全集:如果集合S含有我們所要研究的各個集合的全部元素,這個集合就可以看作一個全集。通常用U來表示。

      (3)性質(zhì):

      ⑴CU(CUA)=A

      ⑵(CUA)

      ⑶(CUA)A=U

    高一數(shù)學(xué)必修一知識點總結(jié)7

      知識點1

      一、集合有關(guān)概念

      1、集合的含義:某些指定的對象集在一起就成為一個集合,其中每一個對象叫元素。

      2、集合的中元素的三個特性:

      1、元素的確定性;

      2、元素的互異性;

      3、元素的無序性

      說明:(1)對于一個給定的集合,集合中的元素是確定的,任何一個對象或者是或者不是這個給定的集合的元素。

      (2)任何一個給定的集合中,任何兩個元素都是不同的對象,相同的對象歸入一個集合時,僅算一個元素。

      (3)集合中的元素是平等的,沒有先后順序,因此判定兩個集合是否一樣,僅需比較它們的元素是否一樣,不需考查排列順序是否一樣。

      (4)集合元素的三個特性使集合本身具有了確定性和整體性。

      3、集合的表示:{…}如{我校的籃球隊員},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

      1、用拉丁字母表示集合:A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}

      2、集合的表示方法:列舉法與描述法。

      注意啊:常用數(shù)集及其記法:

      非負整數(shù)集(即自然數(shù)集)記作:N

      正整數(shù)集N或N+整數(shù)集Z有理數(shù)集Q實數(shù)集R

      關(guān)于“屬于”的概念

      集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示,如:a是集合A的元素,就說a屬于集合A記作a∈A,相反,a不屬于集合A記作a?A

      列舉法:把集合中的元素一一列舉出來,然后用一個大括號括上。

      描述法:將集合中的元素的公共屬性描述出來,寫在大括號內(nèi)表示集合的方法。用確定的條件表示某些對象是否屬于這個集合的方法。

      ①語言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}

      ②數(shù)學(xué)式子描述法:例:不等式x—3>2的解集是{x?R|x—3>2}或{x|x—3>2}

      4、集合的分類:

      1、有限集含有有限個元素的集合

      2、無限集含有無限個元素的集合

      3、空集不含任何元素的集合例:{x|x2=—5}

      知識點2

      I、定義與定義表達式

      一般地,自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系:y=ax^2+bx+c

      (a,b,c為常數(shù),a≠0,且a決定函數(shù)的開口方向,a>0時,開口方向向上,a<0時,開口方向向下,IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大、)

      則稱y為x的二次函數(shù)。

      二次函數(shù)表達式的右邊通常為二次三項式。

      II、二次函數(shù)的三種表達式

      一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0)

      頂點式:y=a(x—h)^2+k[拋物線的頂點P(h,k)]

      交點式:y=a(x—x?)(x—x?)[僅限于與x軸有交點A(x?,0)和B(x?,0)的拋物線]

      注:在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中,有如下關(guān)系:

      h=—b/2ak=(4ac—b^2)/4ax?,x?=(—b±√b^2—4ac)/2a

      III、二次函數(shù)的圖像

      在平面直角坐標系中作出二次函數(shù)y=x^2的圖像,可以看出,二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。

      IV、拋物線的性質(zhì)

      1、拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x=—b/2a。對稱軸與拋物線的交點為拋物線的頂點P。

      特別地,當(dāng)b=0時,拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)

      2、拋物線有一個頂點P,坐標為

      P(—b/2a,(4ac—b^2)/4a)

      當(dāng)—b/2a=0時,P在y軸上;當(dāng)Δ=b^2—4ac=0時,P在x軸上。

      3、二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。

      當(dāng)a>0時,拋物線向上開口;當(dāng)a<0時,拋物線向下開口。

      |a|越大,則拋物線的開口越小。

      知識點3

      1、拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線

      x=—b/2a。

      對稱軸與拋物線的交點為拋物線的頂點P。

      特別地,當(dāng)b=0時,拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)

      2、拋物線有一個頂點P,坐標為

      P(—b/2a,(4ac—b’2)/4a)

      當(dāng)—b/2a=0時,P在y軸上;當(dāng)Δ=b’2—4ac=0時,P在x軸上。

      3、二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。

      當(dāng)a>0時,拋物線向上開口;當(dāng)a<0時,拋物線向下開口。

      |a|越大,則拋物線的開口越小。

      4、一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。

      當(dāng)a與b同號時(即ab>0),對稱軸在y軸左;

      當(dāng)a與b異號時(即ab<0),對稱軸在y軸右。

      5、常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點。

      拋物線與y軸交于(0,c)

      6、拋物線與x軸交點個數(shù)

      Δ=b’2—4ac>0時,拋物線與x軸有2個交點。

      Δ=b’2—4ac=0時,拋物線與x軸有1個交點。

      Δ=b’2—4ac<0時,拋物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數(shù)(x=—b±√b’2—4ac的值的相反數(shù),乘上虛數(shù)i,整個式子除以2a)

      知識點4

      對數(shù)函數(shù)

      對數(shù)函數(shù)的一般形式為,它實際上就是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)。因此指數(shù)函數(shù)里對于a的規(guī)定,同樣適用于對數(shù)函數(shù)。

      右圖給出對于不同大小a所表示的函數(shù)圖形:

      可以看到對數(shù)函數(shù)的圖形只不過的指數(shù)函數(shù)的圖形的'關(guān)于直線y=x的對稱圖形,因為它們互為反函數(shù)。

      (1)對數(shù)函數(shù)的定義域為大于0的實數(shù)集合。

      (2)對數(shù)函數(shù)的值域為全部實數(shù)集合。

      (3)函數(shù)總是通過(1,0)這點。

      (4)a大于1時,為單調(diào)遞增函數(shù),并且上凸;a小于1大于0時,函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù),并且下凹。

      (5)顯然對數(shù)函數(shù)。

      知識點5

      方程的根與函數(shù)的零點

      1、函數(shù)零點的概念:對于函數(shù),把使成立的實數(shù)叫做函數(shù)的零點。

      2、函數(shù)零點的意義:函數(shù)的零點就是方程實數(shù)根,亦即函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標。即:方程有實數(shù)根,函數(shù)的圖象與坐標軸有交點,函數(shù)有零點。

      3、函數(shù)零點的求法:

      (1)(代數(shù)法)求方程的實數(shù)根;

      (2)(幾何法)對于不能用求根公式的方程,可以將它與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來,并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點。

      4、二次函數(shù)的零點:

      (1)△>0,方程有兩不等實根,二次函數(shù)的圖象與軸有兩個交點,二次函數(shù)有兩個零點。

      (2)△=0,方程有兩相等實根(二重根),二次函數(shù)的圖象與軸有一個交點,二次函數(shù)有一個二重零點或二階零點。

      (3)△<0,方程無實根,二次函數(shù)的圖象與軸無交點,二次函數(shù)無零點。

    高一數(shù)學(xué)必修一知識點總結(jié)8

      不等式

      不等關(guān)系

      了解現(xiàn)實世界和日常生活中的不等關(guān)系,了解不等式(組)的實際背景.

      (2)一元二次不等式

      ①會從實際情境中抽象出一元二次不等式模型.

      ②通過函數(shù)圖象了解一元二次不等式與相應(yīng)的`二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系.

      ③會解一元二次不等式,對給定的一元二次不等式,會設(shè)計求解的程序框圖.

      (3)二元一次不等式組與簡單線性規(guī)劃問題

      ①會從實際情境中抽象出二元一次不等式組.

      ②了解二元一次不等式的幾何意義,能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組.

      ③會從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題,并能加以解決.

      (4)基本不等式:

      ①了解基本不等式的證明過程.

      ②會用基本不等式解決簡單的(小)值問題圓的輔助線一般為連圓心與切線或者連圓心與弦中點

    高一數(shù)學(xué)必修一知識點總結(jié)9

      一、集合有關(guān)概念

      1. 集合的含義

      2. 集合的中元素的三個特性:

      (1) 元素的確定性,

      (2) 元素的互異性,

      (3) 元素的無序性,

      3.集合的表示:{ … } 如:{我校的籃球隊員},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

      (1) 用拉丁字母表示集合:A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}

      (2) 集合的表示方法:列舉法與描述法。

      ? 注意:常用數(shù)集及其記法:

      非負整數(shù)集(即自然數(shù)集) 記作:N

      正整數(shù)集 N*或 N+ 整數(shù)集Z 有理數(shù)集Q 實數(shù)集R

      1) 列舉法:{a,b,c……}

      2) 描述法:將集合中的元素的公共屬性描述出來,寫在大括號內(nèi)表示集合的方法。{x?R| x-3>2} ,{x| x-3>2}

      3) 語言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}

      4) Venn圖:

      4、集合的分類:

      (1) 有限集 含有有限個元素的集合

      (2) 無限集 含有無限個元素的集合

      (3) 空集 不含任何元素的集合 例:{x|x2=-5}

      二、集合間的基本關(guān)系

      1.“包含”關(guān)系—子集

      注意: 有兩種可能(1)A是B的一部分,;(2)A與B是同一集合。

      反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作A B或B A

      2.“相等”關(guān)系:A=B (5≥5,且5≤5,則5=5)

      實例:設(shè) A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同則兩集合相等”

      即:① 任何一個集合是它本身的子集。A?A

      ②真子集:如果A?B,且A? B那就說集合A是集合B的真子集,記作A B(或B A)

      ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C

      ④ 如果A?B 同時 B?A 那么A=B

      3. 不含任何元素的集合叫做空集,記為Φ

      規(guī)定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。

      ? 有n個元素的集合,含有2n個子集,2n-1個真子集

      三、集合的運算

      運算類型 交 集 并 集 補 集

      定 義 由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集.記作A B(讀作‘A交B’),即A B={x|x A,且x B}.

      由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合,叫做A,B的并集.記作:A B(讀作‘A并B’),即A B ={x|x A,或x B}).

      設(shè)S是一個集合,A是S的一個子集,由S中所有不屬于A的元素組成的集合,叫做S中子集A的補集(或余集)

      二、函數(shù)的有關(guān)概念

      1.函數(shù)的概念:設(shè)A、B是非空的數(shù)集,如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f,使對于集合A中的任意一個數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng),那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù).記作: y=f(x),x∈A.其中,x叫做自變量,x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域;與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合{f(x)| x∈A }叫做函數(shù)的值域.

      注意:

      1.定義域:能使函數(shù)式有意義的實數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域。

      求函數(shù)的定義域時列不等式組的主要依據(jù)是:

      (1)分式的分母不等于零;

      (2)偶次方根的.被開方數(shù)不小于零;

      (3)對數(shù)式的真數(shù)必須大于零;

      (4)指數(shù)、對數(shù)式的底必須大于零且不等于1.

      (5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結(jié)合而成的.那么,它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.

      (6)指數(shù)為零底不可以等于零,

      (7)實際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實際問題有意義.

      相同函數(shù)的判斷方法:①表達式相同(與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān));②定義域一致 (兩點必須同時具備)

      2.值域 : 先考慮其定義域

      (1)觀察法

      (2)配方法

      (3)代換法

      3. 函數(shù)圖象知識歸納

      (1)定義:在平面直角坐標系中,以函數(shù) y=f(x) , (x∈A)中的x為橫坐標,函數(shù)值y為縱坐標的點P(x,y)的集合C,叫做函數(shù) y=f(x),(x ∈A)的圖象.C上每一點的坐標(x,y)均滿足函數(shù)關(guān)系y=f(x),反過來,以滿足y=f(x)的每一組有序?qū)崝?shù)對x、y為坐標的點(x,y),均在C上 .

      (2) 畫法

      A、 描點法:

      B、 圖象變換法

      常用變換方法有三種

      1) 平移變換

      2) 伸縮變換

      3) 對稱變換

      4.區(qū)間的概念

      (1)區(qū)間的分類:開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間

      (2)無窮區(qū)間

      (3)區(qū)間的數(shù)軸表示.

      5.映射

      一般地,設(shè)A、B是兩個非空的集合,如果按某一個確定的對應(yīng)法則f,使對于集合A中的任意一個元素x,在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng),那么就稱對應(yīng)f:A B為從集合A到集合B的一個映射。記作f:A→B

      6.分段函數(shù)

      (1)在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數(shù)。

      (2)各部分的自變量的取值情況.

      (3)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的交集,值域是各段值域的并集.

      補充:復(fù)合函數(shù)

      如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),則 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 稱為f、g的復(fù)合函數(shù)。

      二.函數(shù)的性質(zhì)

      1.函數(shù)的單調(diào)性(局部性質(zhì))

      (1)增函數(shù)

      設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I,如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1,x2,當(dāng)x1

      如果對于區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1,x2,當(dāng)x1f(x2),那么就說f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù).區(qū)間D稱為y=f(x)的單調(diào)減區(qū)間.

      注意:函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì);

      (2) 圖象的特點

      如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù),那么說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴格的)單調(diào)性,在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的,減函數(shù)的圖象從左到右是下降的.

      (3).函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法

      (A) 定義法:

      ○1 任取x1,x2∈D,且x1

      ○2 作差f(x1)-f(x2);

      ○3 變形(通常是因式分解和配方);

      ○4 定號(即判斷差f(x1)-f(x2)的正負);

      ○5 下結(jié)論(指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性).

      (B)圖象法(從圖象上看升降)

      (C)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

      復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(x),y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān),其規(guī)律:“同增異減”

      注意:函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集.

      8.函數(shù)的奇偶性(整體性質(zhì))

      (1)偶函數(shù)

      一般地,對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函數(shù).

      (2).奇函數(shù)

      一般地,對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x,都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函數(shù).

      (3)具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征

      偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱;奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱.

      利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟:

      ○1首先確定函數(shù)的定義域,并判斷其是否關(guān)于原點對稱;

      ○2確定f(-x)與f(x)的關(guān)系;

      ○3作出相應(yīng)結(jié)論:若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,則f(x)是偶函數(shù);若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,則f(x)是奇函數(shù).

      (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1來判定;

      (3)利用定理,或借助函數(shù)的圖象判定 .

      9、函數(shù)的解析表達式

      (1).函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法,要求兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系時,一是要求出它們之間的對應(yīng)法則,二是要求出函數(shù)的定義域.

      (2)求函數(shù)的解析式的主要方法有:

      1) 湊配法

      2) 待定系數(shù)法

      3) 換元法

      4) 消參法

      10.函數(shù)最大(小)值(定義見課本p36頁)

      ○1 利用二次函數(shù)的性質(zhì)(配方法)求函數(shù)的最大(小)值

      ○2 利用圖象求函數(shù)的最大(小)值

      ○3 利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大(小)值:

      如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增,在區(qū)間[b,c]上單調(diào)遞減則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最大值f(b);

      如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞減,在區(qū)間[b,c]上單調(diào)遞增則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b);

    高一數(shù)學(xué)必修一知識點總結(jié)10

      解三角形

      (1)正弦定理和余弦定理

      掌握正弦定理、余弦定理,并能解決一些簡單的三角形度量問題.

      (2)應(yīng)用

      能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題.

      數(shù)列

      (1)數(shù)列的概念和簡單表示法

      ①了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項公式).

      ②了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù).

      (2)等差數(shù)列、等比數(shù)列

      ①理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念.

      ②掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式與前項和公式.

      ③能在具體的.問題情境中,識別數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系,并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題.

      ④了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.

    高一數(shù)學(xué)必修一知識點總結(jié)11

      第一章:解三角形

      1、正弦定理:在C中,a、b、c分別為角、、C的對邊,R為C的外接圓的半徑,則有asinbsina2RcsinC2R.

      2、正弦定理的變形公式:①a2Rsin,b2Rsin,c2RsinC;②sin,sinb2R,sinCc2R;(正弦定理的變形經(jīng)常用在有三角函數(shù)的等式中)③a:b:csin:sin:sinC;④abcsinsinsinCsinsinsinC111bcsinabsinCacsin.222abc.

      3、三角形面積公式:SC

      4、余定理:在C中,有a2b2c22bccos,b2a2c22accos,cab2abcosC.222

      5、余弦定理的推論:cosbca2bc222,cosacb2ac222,cosCabc2ab222.

      6、設(shè)a、b、c是C的角、、C的對邊,則:①若a2b2c2,則C90為直角三角形;②若a2b2c2,則C90為銳角三角形;③若a2b2c2,則C90為鈍角三角形.

      第二章:數(shù)列

      1、數(shù)列:按照一定順序排列著的一列數(shù).

      2、數(shù)列的項:數(shù)列中的每一個數(shù).

      3、有窮數(shù)列:項數(shù)有限的數(shù)列.

      4、無窮數(shù)列:項數(shù)無限的數(shù)列.

      5、遞增數(shù)列:從第2項起,每一項都不小于它的前一項的數(shù)列.

      6、遞減數(shù)列:從第2項起,每一項都不大于它的前一項的數(shù)列.

      7、常數(shù)列:各項相等的數(shù)列.

      8、擺動數(shù)列:從第2項起,有些項大于它的前一項,有些項小于它的前一項的數(shù)列.

      9、數(shù)列的通項公式:表示數(shù)列an的第n項與序號n之間的關(guān)系的公式.

      10、數(shù)列的遞推公式:表示任一項an與它的前一項an1(或前幾項)間的關(guān)系的公式.

      11、如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù),則這個數(shù)列稱為等差數(shù)列,這個常數(shù)稱為等差數(shù)列的公差.

      12、由三個數(shù)a,,b組成的等差數(shù)列可以看成最簡單的等差數(shù)列,則稱為a與b的等差中項.若bac2,則稱b為a與c的等差中項.

      13、若等差數(shù)列an的首項是a1,公差是d,則ana1n1d.通項公式的變形:①anamnmd;②a1ann1d;③d⑤danamnmana1n1;④nana1d1;

      14、若an是等差數(shù)列,且mnpq(m、n、p、q),則amanapaq;若an是等差數(shù)列,且2npq(n、p、q),則2anapaq;下角標成等差數(shù)列的項仍是等差數(shù)列;連續(xù)m項和構(gòu)成的數(shù)列成等差數(shù)列。

      15、等差數(shù)列的前n項和的公式:①Snna1an2;②Snna1nn12d.

      16、等差數(shù)列的前n項和的性質(zhì):①若項數(shù)為2nn,則S2nnanan1,且S偶S奇nd,S奇S偶anan1.②若項數(shù)為2n1n,則S2n12n1an,且S奇S偶an,S奇S偶nn1(其中S奇nan,S偶n1an).

      17、如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù),則這個數(shù)列稱為等比數(shù)列,這個常數(shù)稱為等比數(shù)列的公比.

      18、在a與b中間插入一個數(shù)G,使a,G,b成等比數(shù)列,則G稱為a與b的等比中項.若G2ab,則稱G為a與b的等比中項.

      19、若等比數(shù)列an的首項是a1,公比是q,則ana1q.

      20、通項公式的變形:①anamq;②a1anqn1;③qn1ana1;④qnmanam.

      21、若an是等比數(shù)列,且mnpq(m、n、p、q),則amanapaq;若an是等比數(shù)列,且2npq(n、p、q),則anapaq;下角標成等差數(shù)列的項仍是等比數(shù)列;連續(xù)m2項和構(gòu)成的數(shù)列成等比數(shù)列。

      22、等比數(shù)列an的前n項和的公式:Sna11qnaaq.1nq11q1qq1時,Sna11qa11qq,即常數(shù)項與q項系數(shù)互為相反數(shù)。

      23、等比數(shù)列的前n項和的性質(zhì):①若項數(shù)為2nn,則SS偶奇q.n②SnmSnqSm.③Sn,S2nSn,S3nS2n成等比數(shù)列.

      24、an與Sn的關(guān)系:anSnSn1S1n2n1

      一些方法:

      一、求通項公式的方法:

      1、由數(shù)列的前幾項求通項公式:待定系數(shù)法

      ①若相鄰兩項相減后為同一個常數(shù)設(shè)為anknb,列兩個方程求解;

      ②若相鄰兩項相減兩次后為同一個常數(shù)設(shè)為anan2bnc,列三個方程求解;③若相鄰兩項相減后相除后為同一個常數(shù)設(shè)為anaq

      2、由遞推公式求通項公式:

      ①若化簡后為an1and形式,可用等差數(shù)列的.通項公式代入求解;②若化簡后為an1anf(n),形式,可用疊加法求解;

      ③若化簡后為an1anq形式,可用等比數(shù)列的通項公式代入求解;

      ④若化簡后為an1kanb形式,則可化為(an1x)k(anx),從而新數(shù)列{anx}是等比數(shù)列,用等比數(shù)列求解{anx}的通項公式,再反過來求原來那個。(其中x是用待定系數(shù)法來求得)3、由求和公式求通項公式:

      ①a1S1②anSnSn1③檢驗a1是否滿足an,若滿足則為an,不滿足用分段函數(shù)寫。

      4、其他

      (1)anan1fn形式,fn便于求和,方法:迭加;

      例如:anan1n1有:anan1n1a2a13a3a24anan1n1各式相加得ana134n1a1nb,q為相除后的常數(shù),列兩個方程求解;

      n4n1(2)anan12anan1形式,同除以anan1,構(gòu)造倒數(shù)為等差數(shù)列;

      anan1anan121an1例如:anan12anan1,則1,即為以-2為公差的等差數(shù)列。anan1(3)anqan1m形式,q1,方法:構(gòu)造:anxqan1x為等比數(shù)列;

      例如:an2an12,通過待定系數(shù)法求得:an22an12,即an2等比,公比為2。(4)anqan1pnr形式:構(gòu)造:anxnyqan1xn1y為等比數(shù)列;(5)anqan1p形式,同除p,轉(zhuǎn)化為上面的幾種情況進行構(gòu)造;因為anqan1pn,則anpnqan1ppn11,若qp1轉(zhuǎn)化為(1)的方法,若不為1,轉(zhuǎn)化為(3)的方法

      二、等差數(shù)列的求和最值問題:(二次函數(shù)的配方法;通項公式求臨界項法)

      ①若②若ak0,則Sn有最大值,當(dāng)n=k時取到的最大值k滿足d0a0k1a10a10ak0,則Sn有最小值,當(dāng)n=k時取到的最大值k滿足d0a0k1

      三、數(shù)列求和的方法:

      ①疊加法:倒序相加,具備等差數(shù)列的相關(guān)特點的,倒序之后和為定值;

      ②錯位相減法:適用于通項公式為等差的一次函數(shù)乘以等比的數(shù)列形式,如:an2n13;n③分式時拆項累加相約法:適用于分式形式的通項公式,把一項拆成兩個或多個的差的形式。如:an1nn11n1n1,an12n12n1111等;22n12n1④一項內(nèi)含有多部分的拆開分別求和法:適用于通項中能分成兩個或幾個可以方便求和的部分,如:an2n1等;

      四、綜合性問題中

      ①等差數(shù)列中一些在加法和乘法中設(shè)一些數(shù)為ad和ad類型,這樣可以相加約掉,相乘為平方差;②等比數(shù)列中一些在加法和乘法中設(shè)一些數(shù)為aq和aq類型,這樣可以相乘約掉。

      第三章:不等式

      1、ab0ab;ab0ab;ab0ab.比較兩個數(shù)的大小可以用相減法;相除法;平方法;開方法;倒數(shù)法等等。

      2、不等式的性質(zhì):①abba;②ab,bcac;③abacbc;④ab,c0acbc,ab,c0acbc;⑤ab,cdacbd;⑥ab0,cd0acbd;⑦ab0ab⑧ab0nnnn,n1;anbn,n1.

      3、一元二次不等式:只含有一個未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式.

      4、二次函數(shù)的圖象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集間的關(guān)系:判別式b4ac201二次函數(shù)yaxbxc2a0的圖象有兩個相異實數(shù)根一元二次方程axbxc02有兩個相等實數(shù)根a0的根axbxc0一元二次不等式的解集2x1,2b2ax1x2b2a沒有實數(shù)根x1x2a0axbxc02xxx1或xx2bxx2aRa0xx1xx2

      5、二元一次不等式:含有兩個未知數(shù),并且未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式.

      6、二元一次不等式組:由幾個二元一次不等式組成的不等式組.

      7、二元一次不等式(組)的解集:滿足二元一次不等式組的x和y的取值構(gòu)成有序數(shù)對x,y,所有這樣的有序數(shù)對x,y構(gòu)成的集合.

      8、在平面直角坐標系中,已知直線xyC0,坐標平面內(nèi)的點x0,y0.①若0,x0y0C0,則點x0,y0在直線xyC0的上方.②若0,x0y0C0,則點x0,y0在直線xyC0的下方.

      9、在平面直角坐標系中,已知直線xyC0.①若0,則xyC0表示直線xyC0上方的區(qū)域;xyC0表示直線xyC0下方的區(qū)域.②若0,則xyC0表示直線xyC0下方的區(qū)域;xyC0表示直線xyC0上方的區(qū)域.

      10、線性約束條件:由x,y的不等式(或方程)組成的不等式組,是x,y的線性約束條件.目標函數(shù):欲達到最大值或最小值所涉及的變量x,y的解析式.線性目標函數(shù):目標函數(shù)為x,y的一次解析式.線性規(guī)劃問題:求線性目標函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值問題.可行解:滿足線性約束條件的解x,y.可行域:所有可行解組成的集合.最優(yōu)解:使目標函數(shù)取得最大值或最小值的可行解.

      11、設(shè)a、b是兩個正數(shù),則ab稱為正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù),ab稱為正數(shù)a、b的幾何平均數(shù).

      12、均值不等式定理:若a0,b0,則ab2ab,即ab2ab.

      13、常用的基本不等式:①a2b22aba,bR;22②abab2a,bR;③abab2a2b2ab22a0,b0;④22a,bR.

      14、極值定理:設(shè)x、y都為正數(shù),則有s(和為定值),則當(dāng)xy時,積xy取得最大值s2⑴若xy.4⑵若xyp(積為定值),則當(dāng)xy時,和xy取得最小值2p.

    高一數(shù)學(xué)必修一知識點總結(jié)12

      一、直線與方程

      (1)直線的傾斜角

      定義:x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地,當(dāng)直線與x軸平行或重合時,我們規(guī)定它的傾斜角為0度。因此,傾斜角的取值范圍是0°≤α<180°(2)直線的斜率

      ①定義:傾斜角不是90°的直線,它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示。即ktan。斜率反映直線與軸的傾斜程度。

      當(dāng)0,90時,k0;當(dāng)90,180時,k0;當(dāng)90時,k不存在。

      yy1(x1x2)②過兩點的直線的斜率公式:k2x2x1注意下面四點:(1)當(dāng)x1x2時,公式右邊無意義,直線的斜率不存在,傾斜角為90°;(2)k與P1、P2的順序無關(guān);(3)以后求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點的坐標直接求得;

      (4)求直線的傾斜角可由直線上兩點的坐標先求斜率得到。(3)直線方程

      ①點斜式:yy1k(xx1)直線斜率k,且過點x1,y1

      注意:當(dāng)直線的斜率為0°時,k=0,直線的方程是y=y1。

      當(dāng)直線的斜率為90°時,直線的斜率不存在,它的方程不能用點斜式表示.但因l上每一點的橫坐標都等于x1,所以它的方程是x=x1。

      ②斜截式:ykxb,直線斜率為k,直線在y軸上的截距為b③兩點式:④截矩式:

      yy1y2y1xayxx1x2x1(x1x2,y1y2)直線兩點x1,y1,x2,y2

      1b其中直線l與x軸交于點(a,0),與y軸交于點(0,b),即l與x軸、y軸的截距分別為a,b。

      ⑤一般式:AxByC0(A,B不全為0)

      1各式的適用范圍○2特殊的方程如:注意:○

      平行于x軸的直線:yb(b為常數(shù));平行于y軸的直線:xa(a為常數(shù));(5)直線系方程:即具有某一共同性質(zhì)的直線(一)平行直線系

      平行于已知直線A0xB0yC00(A0,B0是不全為0的常數(shù))的直線系:

      A0xB0yC0(C為常數(shù))

      (二)過定點的直線系

      ()斜率為k的直線系:yy0kxx0,直線過定點x0,y0;

      ()過兩條直線l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20的交點的直線系方程為

      ,其中直線l2不在直線系中。A1xB1yC1A2xB2yC20(為參數(shù))(6)兩直線平行與垂直

      當(dāng)l1:yk1xb1,l2:yk2xb2時,l1//l2k1k2,b1b2;l1l2k1k21

      注意:利用斜率判斷直線的平行與垂直時,要注意斜率的存在與否。(7)兩條直線的交點

      l1:A1xB1yC10l2:A2xB2yC20相交交點坐標即方程組A1xB1yC10的一組解。

      A2xB2yC20方程組無解l1//l2;方程組有無數(shù)解l1與l2重合(8)兩點間距離公式:設(shè)A(x1,y1),B是平面直角坐標系中的兩個點,(x2,y2)則|AB|(x2x1)2(y2y1)2

      (9)點到直線距離公式:一點Px0,y0到直線l1:AxByC0的距離d(10)兩平行直線距離公式

      在任一直線上任取一點,再轉(zhuǎn)化為點到直線的距離進行求解。

      Ax0By0CAB22

      二、圓的方程

      1、圓的定義:平面內(nèi)到一定點的距離等于定長的點的集合叫圓,定點為圓心,定長為圓的

      半徑。

      2、圓的方程

      (1)標準方程xaybr2,圓心a,b,半徑為r;

      22(2)一般方程x2y2DxEyF0當(dāng)DE2224F0時,方程表示圓,此時圓心為22D2,1E,半徑為r22D2E24F

      當(dāng)DE4F0時,表示一個點;當(dāng)DE4F0時,方程不表示任何圖

      形。

      (3)求圓方程的方法:一般都采用待定系數(shù)法:先設(shè)后求。確定一個圓需要三個獨立條件,若利用圓的標準方程,需求出a,b,r;若利用一般方程,需要求出D,E,F(xiàn);

      另外要注意多利用圓的幾何性質(zhì):如弦的中垂線必經(jīng)過原點,以此來確定圓心的位置。3、直線與圓的位置關(guān)系:

      直線與圓的位置關(guān)系有相離,相切,相交三種情況,基本上由下列兩種方法判斷:

      (1)設(shè)直線l:AxByC0,圓C:xa2yb2r2,圓心Ca,b到l的距離為

      dAaBbCAB222,則有drl與C相離;drl與C相切;drl與C相交

      22(2)設(shè)直線l:AxByC0,圓C:xaybr2,先將方程聯(lián)立消元,得到一個一元二次方程之后,令其中的判別式為,則有

      0l與C相離;0l與C相切;0l與C相交

      2注:如果圓心的位置在原點,可使用公式xx0yy0r去解直線與圓相切的問題,其中x0,y0表示切點坐標,r表示半徑。

      (3)過圓上一點的切線方程:

      22

      ①圓x2+y2=r,圓上一點為(x0,y0),則過此點的切線方程為xx0yy0r(課本命題).

      2222

      ②圓(x-a)+(y-b)=r,圓上一點為(x0,y0),則過此點的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r(課本命題的推廣).

      4、圓與圓的位置關(guān)系:通過兩圓半徑的和(差),與圓心距(d)之間的大小比較來確定。設(shè)圓C1:xa12yb12r2,C2:xa22yb22R2兩圓的位置關(guān)系常通過兩圓半徑的和(差),與圓心距(d)之間的大小比較來確定。當(dāng)dRr時兩圓外離,此時有公切線四條;

      當(dāng)dRr時兩圓外切,連心線過切點,有外公切線兩條,內(nèi)公切線一條;當(dāng)RrdRr時兩圓相交,連心線垂直平分公共弦,有兩條外公切線;當(dāng)dRr時,兩圓內(nèi)切,連心線經(jīng)過切點,只有一條公切線;當(dāng)dRr時,兩圓內(nèi)含;當(dāng)d0時,為同心圓。

      三、立體幾何初步

      1、柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征

      (1)棱柱:定義:有兩個面互相平行,其余各面都是四邊形,且每相鄰兩個四邊形的公共

      邊都互相平行,由這些面所圍成的幾何體。

      分類:以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標準分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

      表示:用各頂點字母,如五棱柱ABCDEA"B"C"D"E"或用對角線的端點字母,如五棱柱

      "AD

      幾何特征:兩底面是對應(yīng)邊平行的全等多邊形;側(cè)面、對角面都是平行四邊形;側(cè)棱平行且

      相等;平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。

      (2)棱錐

      定義:有一個面是多邊形,其余各面都是有一個公共頂點的三角形,由這些面所圍成的幾何體

      分類:以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標準分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等

      表示:用各頂點字母,如五棱錐PABCDE

      幾何特征:側(cè)面、對角面都是三角形;平行于底面的截面與底面相似,其相似比等于頂點到

      截面距離與高的比的平方。

      (3)棱臺:定義:用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐,截面和底面之間的部分分類:以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標準分為三棱態(tài)、四棱臺、五棱臺等

      """""表示:用各頂點字母,如五棱臺PABCDE

      幾何特征:①上下底面是相似的平行多邊形②側(cè)面是梯形③側(cè)棱交于原棱錐的頂點(4)圓柱:定義:以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn),其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體

      幾何特征:①底面是全等的圓;②母線與軸平行;③軸與底面圓的半徑垂直;④側(cè)面展開圖

      是一個矩形。

      (5)圓錐:定義:以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何

      體

      幾何特征:①底面是一個圓;②母線交于圓錐的頂點;③側(cè)面展開圖是一個扇形。(6)圓臺:定義:用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐,截面和底面之間的部分幾何特征:①上下底面是兩個圓;②側(cè)面母線交于原圓錐的頂點;③側(cè)面展開圖是一個弓形。(7)球體:定義:以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體幾何特征:①球的截面是圓;②球面上任意一點到球心的距離等于半徑。2、空間幾何體的三視圖

      定義三視圖:正視圖(光線從幾何體的前面向后面正投影);側(cè)視圖(從左向右)、俯視圖(從上向下)

      注:正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系,即反映了物體的高度和長度;俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系,即反映了物體的長度和寬度;

      側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系,即反映了物體的高度和寬度。

      3、空間幾何體的直觀圖斜二測畫法

      斜二測畫法特點:①原來與x軸平行的線段仍然與x平行且長度不變;

      ②原來與y軸平行的線段仍然與y平行,長度為原來的一半。

      4、柱體、錐體、臺體的表面積與體積

      (1)幾何體的表面積為幾何體各個面的面積的和。

      (2)特殊幾何體表面積公式(c為底面周長,h為高,h為斜高,l為母線)

      S直棱柱側(cè)面積S正棱臺側(cè)面積12chS圓柱側(cè)2rhS正棱錐側(cè)面積(c1c2)h"S圓臺側(cè)面積(rR)l

      12ch"S圓錐側(cè)面積rl

      S圓柱表2rrlS圓錐表rrlS圓臺表r2rlRlR2

      (3)柱體、錐體、臺體的體積公式V柱ShV圓柱ShV臺13(S""21rhV錐ShV圓錐1r2h

      33SSS)hV圓臺13(S"SSS)h"13(rrRR)h

      22

      (4)球體的表面積和體積公式:V球4、空間點、直線、平面的位置關(guān)系

      球面=4R2

      (1)平面

      ①平面的概念:A.描述性說明;B.平面是無限伸展的;

      ②平面的表示:通常用希臘字母α、β、γ表示,如平面α(通常寫在一個銳角內(nèi));

      也可以用兩個相對頂點的字母來表示,如平面BC。

      ③點與平面的關(guān)系:點A在平面內(nèi),記作A;點A不在平面內(nèi),記作A點與直線的關(guān)系:點A的直線l上,記作:A∈l;點A在直線l外,記作Al;

      直線與平面的關(guān)系:直線l在平面α內(nèi),記作lα;直線l不在平面α內(nèi),記作lα。(2)公理1:如果一條直線的兩點在一個平面內(nèi),那么這條直線是所有的點都在這個平面內(nèi)。

      (即直線在平面內(nèi),或者平面經(jīng)過直線)

      應(yīng)用:檢驗桌面是否平;判斷直線是否在平面內(nèi)

      用符號語言表示公理1:Al,Bl,A,Bl(3)公理2:經(jīng)過不在同一條直線上的三點,有且只有一個平面。

      推論:一直線和直線外一點確定一平面;兩相交直線確定一平面;兩平行直線確定一平面。

      公理2及其推論作用:①它是空間內(nèi)確定平面的依據(jù)②它是證明平面重合的依據(jù)(4)公理3:如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的公共直線

      符號:平面α和β相交,交線是a,記作α∩β=a。

      符號語言:PABABl,Pl公理3的作用:

      ①它是判定兩個平面相交的方法。

      ②它說明兩個平面的交線與兩個平面公共點之間的關(guān)系:交線必過公共點。③它可以判斷點在直線上,即證若干個點共線的重要依據(jù)。(5)公理4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行(6)空間直線與直線之間的位置關(guān)系

      ①異面直線定義:不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線②異面直線性質(zhì):既不平行,又不相交。

      ③異面直線判定:過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線與平面內(nèi)不過該店的直線是異面直線④異面直線所成角:直線a、b是異面直線,經(jīng)過空間任意一點O,分別引直線a’∥a,b’∥b,則把直線a’和b’所成的銳角(或直角)叫做異面直線a和b所成的角。兩條異面直線所成角的范圍是(0°,90°],若兩條異面直線所成的角是直角,我們就說這兩條異面直線互相垂直。說明:(1)判定空間直線是異面直線方法:①根據(jù)異面直線的定義;②異面直線的判定定理(2)在異面直線所成角定義中,空間一點O是任取的,而和點O的位置無關(guān)。②求異面直線所成角步驟:

      A、利用定義構(gòu)造角,可固定一條,平移另一條,或兩條同時平移到某個特殊的位置,頂點選在特殊的位置上。B、證明作出的角即為所求角C、利用三角形來求角

      (7)等角定理:如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行,那么這兩角相等或互補。(8)空間直線與平面之間的位置關(guān)系

      直線在平面內(nèi)有無數(shù)個公共點.

      三種位置關(guān)系的符號表示:aαa∩α=Aa∥α

      (9)平面與平面之間的位置關(guān)系:平行沒有公共點;α∥β

      相交有一條公共直線。α∩β=b

      5、空間中的平行問題

      (1)直線與平面平行的判定及其性質(zhì)

      線面平行的判定定理:平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行,則該直線與此平面平行。

      線線平行線面平行

      線面平行的性質(zhì)定理:如果一條直線和一個平面平行,經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交,

      那么這條直線和交線平行。線面平行線線平行

      (1)平面與平面平行的判定及其性質(zhì)兩個平面平行的判定定理

      (2)如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個平面,那么這兩個平面平行

      (線面平行→面面平行),

      (2)如果在兩個平面內(nèi),各有兩組相交直線對應(yīng)平行,那么這兩個平面平行。(線線平行→面面平行),

      (3)垂直于同一條直線的兩個平面平行,兩個平面平行的性質(zhì)定理

      (1)如果兩個平面平行,那么某一個平面內(nèi)的直線與另一個平面平行。(面面平行→線面平行)(2)如果兩個平行平面都和第三個平面相交,那么它們的`交線平行。(面面平行→線線平行)7、空間中的垂直問題

      (1)線線、面面、線面垂直的定義①兩條異面直線的垂直:如果兩條異面直線所成的角是直角,就說這兩條異面直線互相垂直。②線面垂直:如果一條直線和一個平面內(nèi)的任何一條直線垂直,就說這條直線和這個平面垂直。

      ③平面和平面垂直:如果兩個平面相交,所成的二面角(從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形)是直二面角(平面角是直角),就說這兩個平面垂直。(2)垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)定理①線面垂直判定定理和性質(zhì)定理判定定理:如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,那么這條直線垂直這個平面。性質(zhì)定理:如果兩條直線同垂直于一個平面,那么這兩條直線平行。②面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理

      判定定理:如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線,那么這兩個平面互相垂直。性質(zhì)定理:如果兩個平面互相垂直,那么在一個平面內(nèi)垂直于他們的交線的直線垂直于另一個平面。

      9、空間角問題

      (1)直線與直線所成的角

      ①兩平行直線所成的角:規(guī)定為0。

      ②兩條相交直線所成的角:兩條直線相交其中不大于直角的角,叫這兩條直線所成的角。③兩條異面直線所成的角:過空間任意一點O,分別作與兩條異面直線a,b平行的直線a,b,形成兩條相交直線,這兩條相交直線所成的不大于直角的角叫做兩條異面直線所成的角。

      (2)直線和平面所成的角

      ①平面的平行線與平面所成的角:規(guī)定為0。②平面的垂線與平面所成的角:規(guī)定為90。③平面的斜線與平面所成的角:平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角,叫做這條直線和這個平面所成的角。

      求斜線與平面所成角的思路類似于求異面直線所成角:“一作,二證,三計算”。

      第6頁

      在“作角”時依定義關(guān)鍵作射影,由射影定義知關(guān)鍵在于斜線上一點到面的垂線,在解題時,注意挖掘題設(shè)中兩個主要信息:(1)斜線上一點到面的垂線;(2)過斜線上的一點或過斜線的平面與已知面垂直,由面面垂直性質(zhì)易得垂線。(3)二面角和二面角的平面角①二面角的定義:從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角,這條直線叫做二面角的棱,這兩個半平面叫做二面角的面。②二面角的平面角:以二面角的棱上任意一點為頂點,在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射.....線,這兩條射線所成的角叫二面角的平面角。③直二面角:平面角是直角的二面角叫直二面角。

      兩相交平面如果所組成的二面角是直二面角,那么這兩個平面垂直;反過來,如果兩個平面垂直,那么所成的二面角為直二面角④求二面角的方法

      定義法:在棱上選擇有關(guān)點,過這個點分別在兩個面內(nèi)作垂直于棱的射線得到平面角垂面法:已知二面角內(nèi)一點到兩個面的垂線時,過兩垂線作平面與兩個面的交線所成的角為二面角的平面角7、空間直角坐標系

      (1)定義:如圖,OBCDD,A,B,C,是單位正方體.以A為原點,分別以O(shè)D,OA,,OB的方向為正方向,建立三條數(shù)軸x軸.y軸.z軸。這時建立了一個空間直角坐標系Oxyz.

      1)O叫做坐標原點2)x軸,y軸,z軸叫做坐標軸.3)過每兩個坐標軸的平面叫做坐標面。

      (2)右手表示法:令右手大拇指、食指和中指相互垂直時,可能形成的位置。大拇指指向為x軸正方向,食指指向為y軸正向,中指指向則為z軸正向,這樣也可以決定三軸間的相位置。

      (3)任意點坐標表示:空間一點M的坐標可以用有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)來表示,有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)叫做點M在此空間直角坐標系中的坐標,記作M(x,y,z)(x叫做點M的橫坐標,y叫做點M的縱坐標,z叫做點M的豎坐標)

      (4)空間兩點距離坐標公式:d(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2

    高一數(shù)學(xué)必修一知識點總結(jié)13

      高一數(shù)學(xué)必修一知識點

      指數(shù)函數(shù)

      (一)指數(shù)與指數(shù)冪的運算

      1.根式的概念:一般地,如果,那么叫做的次方根(nthroot),其中>1,且∈_.

      當(dāng)是奇數(shù)時,正數(shù)的次方根是一個正數(shù),負數(shù)的次方根是一個負數(shù).此時,的次方根用符號表示.式子叫做根式(radical),這里叫做根指數(shù)(radicalexponent),叫做被開方數(shù)(radicand).

      當(dāng)是偶數(shù)時,正數(shù)的次方根有兩個,這兩個數(shù)互為相反數(shù).此時,正數(shù)的正的次方根用符號表示,負的次方根用符號-表示.正的次方根與負的次方根可以合并成±(>0).由此可得:負數(shù)沒有偶次方根;0的任何次方根都是0,記作。

      注意:當(dāng)是奇數(shù)時,當(dāng)是偶數(shù)時,

      2.分數(shù)指數(shù)冪

      正數(shù)的分數(shù)指數(shù)冪的意義,規(guī)定:

      0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0,0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義

      指出:規(guī)定了分數(shù)指數(shù)冪的意義后,指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù),那么整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)也同樣可以推廣到有理數(shù)指數(shù)冪.

      3.實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)

      (二)指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

      1、指數(shù)函數(shù)的概念:一般地,函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)(exponential),其中x是自變量,函數(shù)的定義域為R.

      注意:指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍,底數(shù)不能是負數(shù)、零和1.

      2、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

      高一上冊數(shù)學(xué)必修一知識點梳理

      空間幾何體表面積體積公式:

      1、圓柱體:表面積:2πRr+2πRh體積:πR2h(R為圓柱體上下底圓半徑,h為圓柱體高)

      2、圓錐體:表面積:πR2+πR[(h2+R2)的]體積:πR2h/3(r為圓錐體低圓半徑,h為其高,

      3、a-邊長,S=6a2,V=a3

      4、長方體a-長,b-寬,c-高S=2(ab+ac+bc)V=abc

      5、棱柱S-h-高V=Sh

      6、棱錐S-h-高V=Sh/3

      7、S1和S2-上、下h-高V=h[S1+S2+(S1S2)^1/2]/3

      8、S1-上底面積,S2-下底面積,S0-中h-高,V=h(S1+S2+4S0)/6

      9、圓柱r-底半徑,h-高,C—底面周長S底—底面積,S側(cè)—,S表—表面積C=2πrS底=πr2,S側(cè)=Ch,S表=Ch+2S底,V=S底h=πr2h

      10、空心圓柱R-外圓半徑,r-內(nèi)圓半徑h-高V=πh(R^2-r^2)

      11、r-底半徑h-高V=πr^2h/3

      12、r-上底半徑,R-下底半徑,h-高V=πh(R2+Rr+r2)/313、球r-半徑d-直徑V=4/3πr^3=πd^3/6

      14、球缺h-球缺高,r-球半徑,a-球缺底半徑V=πh(3a2+h2)/6=πh2(3r-h)/3

      15、球臺r1和r2-球臺上、下底半徑h-高V=πh[3(r12+r22)+h2]/6

      16、圓環(huán)體R-環(huán)體半徑D-環(huán)體直徑r-環(huán)體截面半徑d-環(huán)體截面直徑V=2π2Rr2=π2Dd2/4

      17、桶狀體D-桶腹直徑d-桶底直徑h-桶高V=πh(2D2+d2)/12,(母線是圓弧形,圓心是桶的中心)V=πh(2D2+Dd+3d2/4)/15(母線是拋物線形)

      人教版高一數(shù)學(xué)必修一知識點梳理

      1、柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征

      (1)棱柱:

      定義:有兩個面互相平行,其余各面都是四邊形,且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行,由這些面所圍成的幾何體。

      分類:以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標準分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

      表示:用各頂點字母,如五棱柱或用對角線的端點字母,如五棱柱。

      幾何特征:兩底面是對應(yīng)邊平行的全等多邊形;側(cè)面、對角面都是平行四邊形;側(cè)棱平行且相等;平行于底面的截面是與底面全等的'多邊形。

      (2)棱錐

      定義:有一個面是多邊形,其余各面都是有一個公共頂點的三角形,由這些面所圍成的幾何體。

      分類:以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標準分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等

      表示:用各頂點字母,如五棱錐

      幾何特征:側(cè)面、對角面都是三角形;平行于底面的截面與底面相似,其相似比等于頂點到截面距離與高的比的平方。

      (3)棱臺:

      定義:用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐,截面和底面之間的部分。

      分類:以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標準分為三棱態(tài)、四棱臺、五棱臺等

      表示:用各頂點字母,如五棱臺

      幾何特征:①上下底面是相似的平行多邊形②側(cè)面是梯形③側(cè)棱交于原棱錐的頂點

      (4)圓柱:

      定義:以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn),其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體。

      幾何特征:①底面是全等的圓;②母線與軸平行;③軸與底面圓的半徑垂直;④側(cè)面展開圖是一個矩形。

      (5)圓錐:

      定義:以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何體。

      幾何特征:①底面是一個圓;②母線交于圓錐的頂點;③側(cè)面展開圖是一個扇形。

      (6)圓臺:

      定義:用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐,截面和底面之間的部分

      幾何特征:①上下底面是兩個圓;②側(cè)面母線交于原圓錐的頂點;③側(cè)面展開圖是一個弓形。

      (7)球體:

      定義:以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體

      幾何特征:①球的截面是圓;②球面上任意一點到球心的距離等于半徑。

      2、空間幾何體的三視圖

      定義三視圖:正視圖(光線從幾何體的前面向后面正投影);側(cè)視圖(從左向右)、俯視圖(從上向下)

      注:正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系,即反映了物體的高度和長度;

      俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系,即反映了物體的長度和寬度;

      側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系,即反映了物體的高度和寬度。

      3、空間幾何體的直觀圖——斜二測畫法

      斜二測畫法特點:

      ①原來與x軸平行的線段仍然與x平行且長度不變;

      ②原來與y軸平行的線段仍然與y平行,長度為原來的一半。

    高一數(shù)學(xué)必修一知識點總結(jié)14

      二次函數(shù)

      I.定義與定義表達式

      一般地,自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系:y=ax^2+bx+c

      (a,b,c為常數(shù),a≠0,且a決定函數(shù)的開口方向,a>0時,開口方向向上,a<0時,開口方向向下,IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大.)

      則稱y為x的二次函數(shù)。

      二次函數(shù)表達式的右邊通常為二次三項式。

      II.二次函數(shù)的'三種表達式

      一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0)

      頂點式:y=a(x-h)^2+k[拋物線的頂點P(h,k)]

      交點式:y=a(x-x?)(x-x?)[僅限于與x軸有交點A(x?,0)和B(x?,0)的拋物線]

      注:在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中,有如下關(guān)系:

      h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4ax?,x?=(-b±√b^2-4ac)/2a

      III.二次函數(shù)的圖像

      在平面直角坐標系中作出二次函數(shù)y=x^2的圖像,可以看出,二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。

      IV.拋物線的性質(zhì)

      1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x=-b/2a。對稱軸與拋物線的交點為拋物線的頂點P。

      特別地,當(dāng)b=0時,拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)

      2.拋物線有一個頂點P,坐標為

      P(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)

      當(dāng)-b/2a=0時,P在y軸上;當(dāng)Δ=b^2-4ac=0時,P在x軸上。

      3.二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。

      當(dāng)a>0時,拋物線向上開口;當(dāng)a<0時,拋物線向下開口。

      |a|越大,則拋物線的開口越小。

    高一數(shù)學(xué)必修一知識點總結(jié)15

      【公式一】

      設(shè)α為任意角,終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等:

      sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z)

      cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z)

      tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z)

      cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z)

      【公式二】

      設(shè)α為任意角,π+α的三角函數(shù)值與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:

      sin(π+α)=-sinα

      cos(π+α)=-cosα

      tan(π+α)=tanα

      cot(π+α)=cotα

      【公式三】

      任意角α與-α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:

      sin(-α)=-sinα

      cos(-α)=cosα

      tan(-α)=-tanα

      cot(-α)=-cotα

      【公式四】

      利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:

      sin(π-α)=sinα

      cos(π-α)=-cosα

      tan(π-α)=-tanα

      cot(π-α)=-cotα

      【公式五】

      利用公式一和公式三可以得到2π-α與α的`三角函數(shù)值之間的關(guān)系:

      sin(2π-α)=-sinα

      cos(2π-α)=cosα

      tan(2π-α)=-tanα

      cot(2π-α)=-cotα

      【公式六】

      π/2±α及3π/2±α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:

      sin(π/2+α)=cosα

      cos(π/2+α)=-sinα

      tan(π/2+α)=-cotα

      cot(π/2+α)=-tanα

      sin(π/2-α)=cosα

      cos(π/2-α)=sinα

      tan(π/2-α)=cotα

      cot(π/2-α)=tanα

      sin(3π/2+α)=-cosα

      cos(3π/2+α)=sinα

      tan(3π/2+α)=-cotα

      cot(3π/2+α)=-tanα

      sin(3π/2-α)=-cosα

      cos(3π/2-α)=-sinα

      tan(3π/2-α)=cotα

      cot(3π/2-α)=tanα

      (以上k∈Z)

      【高一數(shù)學(xué)函數(shù)復(fù)習(xí)資料】

      一、定義與定義式:

      自變量x和因變量y有如下關(guān)系:

      y=kx+b

      則此時稱y是x的一次函數(shù)。

      特別地,當(dāng)b=0時,y是x的正比例函數(shù)。

      即:y=kx(k為常數(shù),k≠0)

      二、一次函數(shù)的性質(zhì):

      的變化值與對應(yīng)的x的變化值成正比例,比值為k

      即:y=kx+b(k為任意不為零的實數(shù)b取任何實數(shù))

      當(dāng)x=0時,b為函數(shù)在y軸上的截距。

      三、一次函數(shù)的圖像及性質(zhì):

      作法與圖形:通過如下3個步驟

      (1)列表;

      (2)描點;

      (3)連線,可以作出一次函數(shù)的圖像——一條直線。因此,作一次函數(shù)的圖像只需知道2點,并連成直線即可。(通常找函數(shù)圖像與x軸和y軸的交點)

      性質(zhì):(1)在一次函數(shù)上的任意一點P(x,y),都滿足等式:y=kx+b。(2)一次函數(shù)與y軸交點的坐標總是(0,b),與x軸總是交于(-b/k,0)正比例函數(shù)的圖像總是過原點。

      ,b與函數(shù)圖像所在象限:

      當(dāng)k>0時,直線必通過一、三象限,y隨x的增大而增大;

      當(dāng)k

      當(dāng)b>0時,直線必通過一、二象限;

      當(dāng)b=0時,直線通過原點

      當(dāng)b

      特別地,當(dāng)b=O時,直線通過原點O(0,0)表示的是正比例函數(shù)的圖像。

      這時,當(dāng)k>0時,直線只通過一、三象限;當(dāng)k

      四、確定一次函數(shù)的表達式:

      已知點A(x1,y1);B(x2,y2),請確定過點A、B的一次函數(shù)的表達式。

      (1)設(shè)一次函數(shù)的表達式(也叫解析式)為y=kx+b。

      (2)因為在一次函數(shù)上的任意一點P(x,y),都滿足等式y(tǒng)=kx+b。所以可以列出2個方程:y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……②

      (3)解這個二元一次方程,得到k,b的值。

      (4)最后得到一次函數(shù)的表達式。

      五、一次函數(shù)在生活中的應(yīng)用:

      當(dāng)時間t一定,距離s是速度v的一次函數(shù)。s=vt。

      當(dāng)水池抽水速度f一定,水池中水量g是抽水時間t的一次函數(shù)。設(shè)水池中原有水量S。g=S-ft。

      六、常用公式:(不全,希望有人補充)

      求函數(shù)圖像的k值:(y1-y2)/(x1-x2)

      求與x軸平行線段的中點:|x1-x2|/2

      求與y軸平行線段的中點:|y1-y2|/2

      求任意線段的長:√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2(注:根號下(x1-x2)與(y1-y2)的平方和)

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