小學數學總復習專題講解及訓練(八) 教案教學設計(人教新課標六年級總復習)

    發布時間:2016-2-9 編輯:互聯網 手機版

     

    主要內容

    正比例和反比例

    學習目標

    1、使學生結合實際情境認識成正比例和反比例的量,能根據正、反比例的意義判斷兩種相關聯的量是否成正比例或反比例。

    2、使學生初步認識正比例的圖像是一條直線,能利用給出的具有正比例關系的數據在方格紙上畫出相應的直線,能根據具有正比例關系的一個量的數值看圖估計另一個量的數值。

    3、使學生在認識成正比例、反比例的量的過程中,初步體會數量之間相依互變的關系,感受有效表示數量關系及其變化規律的不同數學模型,進一步提升思維水平。

    4、使學生進一步體會數學與日常生活的密切聯系,增強探索數學知識和規律的意識,養成積極主動地參與學習活動的習慣,提高學好數學的信心。

    考點分析

    1、兩種相關聯的量,一種量變化,另一種量也隨著變化。如果這兩種量中相對應的兩個數的比的比值(也就是商)一定,這兩種量就叫做成正比例的量,它們之間的關系叫做正比例關系。

    如果用字母x和y分別表示兩種相關聯的量,用k表示它們的比值,正比例關系可以用這樣的式子來表示:  = K(一定)。

    2、用“描點法”可以得到正比例的圖像,正比例的圖像是一條直線。對照圖像,能根據一種量的值,估計另一種量相對應的值。

    3、兩種相關聯的量,一種量變化,另一種量也隨著變化。如果這兩種量中相對應的兩個數的乘積一定,這兩種量就叫做成反比例的量,它們之間的關系叫做反比例關系。

    如果用字母x和y分別表示兩種相關聯的量,用k表示它們的積,反比例關系可以用這樣的式子來表示:xy = K(一定)。

    4、兩個變量的比值一定,這兩個變量成正比例;兩個變量的積一定,這兩個變量成反比例;沒有上述兩種關系,這兩個變量不成比例。

    典型例題

    例1、(正比例的意義)一列火車行駛的時間和路程如下表。這兩種量有什么關系?

    時間/時 1 2 3 4 5 6 ……

    路程/千米 120 240 360 480 600 720 ……

    分析與解:(1)從上表可以看出,表中有時間和路程兩種量。

    (2)從左往右看,時間擴大,路程也擴大;從右往左看,時間縮小,路程也縮小。所以它們是兩種相關聯的量。

    (3)路程和時間的比值始終不變,  = 120,  = 120,  = 120……這個比值就是火車的行駛速度。

    通過觀察和計算,我們對路程和時間的關系有兩點發現:第一點路程和時間是兩種相關聯的量,也就是時間變化,路程也隨著變化;第二點路程和對應的時間的比的比值(也就是速度)是一定的,有這樣的關系:  = 速度(一定)。

    具備了這兩個條件,我們就可以得到結論:行駛的路程和時間成正比例關系;行駛的路程和時間成正比例的量。

    點評:判斷兩種量是不是成正比例,分三步:一看它們是不是相關聯的兩種量;二是看一種量變化,另一種量是不是也隨著變化;滿足了前面兩個條件,再看它們的比值是否一定。不要省去任何一步。如果用字母x和y分別表示兩種相關聯的量,用k表示它們的比值,正比例關系可以用這樣的式子來表示:  = K(一定)。

    例2、(判斷是否成正比例)

    練習本的單價一定,買練習本的數量和總價是不是成正比例?為什么?

    分析與解:根據正比例的意義,看兩個變量的比值是否一定,如果兩個變量的比值一定,那么這兩個變量就成正比例,反之,則不成正比例。

    買練習本的數量和總價是兩種相關聯的量,它們與練習本的單價有下面的關系:

      = 練習本的單價(一定)

    所以練習本的數量和總價成正比例。

    例3、(正比例的圖像)磁懸浮列車勻速行駛時,路程與時間的關系如下。

    時間/分 1 2 3 4 5 6  7 ……

    路程/千米 7 14 21 28 35 42 49 ……

    (1)圖中的點A表示時間為1分鐘時,磁懸浮列車駛過的路程為7千米。請你試著描出其他各點。

    (2)連接各點,它們在一條直線上嗎?

    (3)根據圖像判斷,列車運行2分半鐘時,行駛的路程是多少千米?行駛30千米大約需要幾分鐘?  路程/千米

    42 

    35 

    28 

    21 

    14 

    7   ●A

    0

         1  2  3  4 5  6  7 時間/分

    分析與解:根據提供的各組數據描出圖像的許多個點,再依次連成直線。路程和時間相對應的數的比值都是7,即速度一定,路程和時間成正比例,圖像是一條直線。對照圖像,可以根據時間的值估計出路程的值,也可以根據路程的值估計出時間的值,估計時允許有一定的出入。

    (1)描點、連線如圖。

                   路程/千米

    42                 ● 

    35              ● 

    28           ● 

    21        ● 

    14      ● 

    7   ●A

    0

         1  2  3  4 5  6  7 時間/分

    (2)在一條直線上,因為路程和時間成正比例,正比例的圖像是一條直線。

    (3)根據圖像,列車運行2分半鐘時,行駛的路程是17.5千米;行駛30千米大約需要4.3分鐘。

    例4、(辨析)圓的周長和直徑成正比例,圓的面積和半徑成正比例?

    分析與解:圓的周長和直徑成正比例,而圓的面積和半徑卻不成正比例。

    可列表判斷。

    半徑/cm 1 2 3 4 5 6 ……

    直徑/cm 2 4 6 8 10 12 ……

    周長/cm 6.28 12.56 18.84 25.12 31.4 37.68 ……

    面積/cm 3.14 12.56 28.26 50.24 78.5 113.04 ……

    圓的周長和直徑的相對應的數的比值都是3.14,所以圓的周長和直徑成正比例。而圓的面積和半徑的相對應的數的比值是變化的,所以圓的面積和半徑不成正比例。

    圓的周長和直徑成正比例,圓的面積和半徑卻不成正比例。

    例5、(反比例的意義)

    下表是王師傅加工一批零件時,每小時加工零件個數隨時間變化的情況。這兩種量有什么關系?

    每小時加工零件的個數/個 20 30 40 60  80 ……

    加工的時間/時 12 8 6 4 3 ……

    分析與解:(1)從上表可以看出,表中有每小時加工零件的個數和加工的時間兩種量。(2)從左往右看,每小時加工零件的個數擴大,加工的時間反而縮小;從右往左看,每小時加工零件的個數縮小,加工的時間反而擴大。所以它們是兩種相關聯的量。(3)每小時加工零件的個數和相對應的加工的時間的積都始終不變,如20 × 12 = 240,30 × 8 = 240,40 × 6 = 240……而這個積就是這批零件的總個數。

    通過觀察和計算,我們發現:每小時加工零件的個數和加工的時間是兩種相關聯的量,每小時加工零件的個數隨著加工的時間變化而變化,但無論它們怎么變化,相對應的積是一定的,有這樣的關系:每小時加工零件的個數 × 加工的時間 = 零件的總個數(一定)。

    所以每小時加工零件的個數和加工的時間成反比例的量,它們之間的關系叫做反比例關系。

    點評:判斷兩種量是不是成反比例,和正比例一樣,分三步:一看它們是不是相關聯的兩種量;二是看一種量變化,另一種量是不是也隨著變化;滿足了前面兩個條件,再看它們的乘積是否一定,進行判斷。不要省去任何一步。如果用字母x和y分別表示兩種相關聯的量,用k表示它們的比值,正比例關系可以用這樣的式子來表示:xy = K(一定)。

    例6、(判斷是否成反比例)

    總產量一定,每公頃的產量和公頃數是不是成反比例?為什么?

    分析與解:根據反比例的意義,看兩個變量的乘積是否一定,如果兩個變量的積一定,那么這兩個變量就成反比例,反之,則不成反比例。

    每公頃的產量和公頃數是兩種相關聯的量,它們與總產量有下面的關系:

    每公頃的產量 × 公頃數 = 總產量(一定)

    所以每公頃的產量和公頃數成反比例。

    例7、(辨析)和一定,一個加數和另一個加數成反比例。

    分析與解:判斷兩個變量是否成反比例,關鍵是看兩個變量的乘積是否一定。很明顯,和一定,兩個加數的積是變化的,所以它們不成反比例。

    和一定,一個加數和另一個加數不成反比例。因為它們的積不一定。

    點評:有些相關聯的量,雖然也是一種量變化,另一種量也隨著變化,但它們不是積一定,也       不是比值一定,它們就不成比例。像這樣的還有:人的跳高高度和身高;減數一定,被減數和差等。

    例8、(綜合題1)

    (1)長方形的面積一定,長和寬成反比例嗎?為什么?

    (2)長方形的周長一定,長和寬成反比例嗎?為什么?

    分析與解:判斷時可以用列表的方式列舉數據,也可以根據計算的公式來推導。

    (1)因為長方形的長 × 寬 = 長方形的面積(一定),所以長和寬成反比例。

    (2)長方形的周長 = (長+寬)× 2 ,長方形的周長一定,長+寬的和一定,但不是積一定,所以長和寬不成反比例。

    例9、(綜合題2)

    分別說明大米的總千克數、每天吃的千克數和天數這三種量中,每兩種量的比例關系。

    (1)大米的總千克數一定,每天吃的千克數和天數;

    (2)每天吃的千克數一定,大米的總千克數和天數;

    (3)天數一定,大米的總千克數和每天吃的千克數。

    分析與解:在大米的總千克數、每天吃的千克數和天數這三種量中,當某一種量一定時,另外兩種量可能成正比例關系,也可能成反比例關系。可以根據數量關系式來判斷。

    (1)因為每天吃的千克數 × 天數 = 大米的總千克數(一定),所以大米的總千克數一定時,每天吃的千克數和天數成反比例。

    (2)因為  = 每天吃的千克數(一定),所以每天吃的千克數一定時,大米的總千克數和天數成正比例。

    (3)因為  = 天數(一定),所以天數一定時,大米的總千克數和每天吃的千克數成正比例。

    小學數學總復習專題講解及訓練(八)

    模擬試題

    1、仔細觀察每張表格,思考表格中兩種量之間有關系嗎?有什么關系?為什么?

    表格1

    數量/本 1 3 6 8 10 20 ……

    總價/元 4 12 24 32 40 80 ……

    表格2

    單價/元 1.5 2 3 4 5 6 ……

    總價/元 6 8 12 16 20 24 ……

    表格3   用60元錢購買筆記本,筆記本的單價和可以購買的數量如下表:

    單價/元 1.5 2 3 4 5 6 ……

    數量/本 40 30 20 15 12 10 ……

    2、用一批紙裝訂練習本,每本25頁,可以裝訂400本。如果要裝訂500本,每本有X頁。

    題中(     )量一定,關系式:(    )○(    )=(   )(一定),(    )和(   )成(   )比例。

    3、一間會客室地面用邊長0.3米的正方形地磚鋪,需要640塊。如果改用邊長0.4米的正方形地磚,需要Y塊。

    題中(       )量一定,關系式:(      )○(      )=(     )(一定),(    )和(     )成(    )比例。

    4、在圓柱的側面積、底面周長、高這三種量中

       當底面周長一定時,(   )與(   )成(  )比例;

       當高一定時,(   )與(   )成(   )比例;

       當側面積一定時,(   )與(   )成(   )比例。

    5、在被除數、除數、商這三種量中,

       當(   )一定時,(   )與(   )成正比例;

       當(   )一定時,(   )與(   )成反比例;

    6、當 a × b = c( a、b、c 為三種量,且均不為0)。

     (   )一定,(   )與(   )成(   )比例;

    (   )一定,(   )與(   )成(   )比例;

    (   )一定,(   )與(   )成(   )比例;

    7、判斷。

    (1)、工作總量一定,工作效率和工作時間成反比例。(      )

    (2)、圖上距離和實際距離成正比例。(       )

    (3)、X和Y表示兩種變化的相關聯的量,同時5X-7Y=0,X和Y不成比例。(      )

    (4)、分數的大小一定,它的分子和分母成正比例。          (     )

    (5)、在一定的距離內,車輪周長和它轉動的圈數成反比例。  (     )

    (6)、兩種相關聯的量,不成正比例,就成反比例。          (     )

    (7)訂閱《小學數學評價手冊》的份數與所需錢數成正比例。   (     )

    (8)在400米賽跑中,跑步的速度和所用時間成反比例。       (     )

    (9)工作總量一定,已完成的量和未完成的量成反比例。       (     )

    (10)正方體的棱長和體積成正比例。                        (     )

    (11)被除數一定,除數和商成反比例。                      (     )

    (12)圓的周長和它的直徑成正比例。                        (     )

    8、判斷下面每題中的兩種量是不是成比例,如果成比例,成什么比例。

    (1)、裝配一批電視機,每天裝配臺數和所需的天數(         )。

    (2)、正方形的邊長和周長(           )。

    (3)、水池的容積一定,水管每小時注水量和所用時間(               )。

    (4)、房間面積一定,每塊磚的面積和鋪磚的塊數(              )。

    (5)、在一定時間里,加工每個零件所用的時間和加工零件的個數(           )。

    (6)、在一定時間里,每小時加工零件的個數和加工零件的個數(              )。

    9、思考:明明三歲時體重12千克,十一歲時體重44千克。于是小張就說:“明明的體重和身高成正比例。”你認為小張的說法對嗎?為什么?

    10、某造紙廠每小時造紙1.5噸,2小時、3小時┈┈各造紙多少噸?

    (1)把下表填寫完整。

    造紙時間/時 1 2 3 4 ……

    造紙噸數/噸 1.5 ……

    (2)根據表中的數據,在下圖中描出造紙時間和造紙噸數對應的點,再把它們連起來。             噸數/噸

    6  

    0

         1  2  3  4 5  6  7 時間/時

    (3)造紙噸數與造紙時間成正比例嗎?為什么?

    (4)根據圖像判斷, 5小時造紙多少噸?

    參考答案:

    1、仔細觀察每張表格,思考表格中兩種量之間有關系嗎?有什么關系?為什么?

    表格1

    數量/本 1 3 6 8 10 20 ……

    總價/元 4 12 24 32 40 80 ……

      = 4,  = 4,  = 4  ……

    因為  = 單價(一定),所以單價一定時,總價和數量成正比例。

    表格2

    單價/元 1.5 2 3 4 5 6 ……

    總價/元 6 8 12 16 20 24 ……

      = 4,  = 4,  = 4  ……

    因為  = 數量(一定),所以數量一定時,總價和單價成正比例。

    表格3   用60元錢購買筆記本,筆記本的單價和可以購買的數量如下表:

    單價/元 1.5 2 3 4 5 6 ……

    數量/本 40 30 20 15 12 10 ……

    1.5 × 40 = 60 ,2 × 30 = 60 ,4 × 15 = 60  ……

    因為單價 × 數量 = 總價(一定),所以總價一定時,單價和數量成反比例。

    2、用一批紙裝訂練習本,每本25頁,可以裝訂400本。如果要裝訂500本,每本有X頁。

    題中(   紙的總頁數  )量一定,關系式:(  每本頁數  ) × ( 裝訂本數 )=( 紙的總頁數  )(一定),(  每本頁數  )和(  裝訂本數 )成(  反  )比例。

    3、一間會客室地面用邊長0.3米的正方形地磚鋪,需要640塊。如果改用邊長0.4米的正方形地磚,需要Y塊。

    題中(  會客室地面面積 )量一定,關系式:( 每塊磚的面積 )×(  磚的塊數  )=(  會客室地面面積   )(一定),(  每塊磚的面積  )和(  磚的塊數   )成(  反  )比例。

    4、在圓柱的側面積、底面周長、高這三種量中

       當底面周長一定時,( 側面積  )與( 高  )成(正)比例;

       當高一定時,(  側面積 )與(  底面周長 )成(正)比例;

       當側面積一定時,(   底面周長 )與(  高 )成(  反 )比例。

    5、在被除數、除數、商這三種量中,

       當( 除數  )一定時,(  被除數 )與(  商 )成正比例;

       當( 被除數  )一定時,(  除數  )與(  商  )成反比例;

    6、當 a × b = c( a、b、c 為三種量,且均不為0)。

     (  c  )一定,(  a )與(  b )成(  反  )比例;

    (  a )一定,(  c )與(  b )成(  正 )比例;

    (  b )一定,(  c )與(  a )成(  正 )比例;

    7、判斷。

    (1)、工作總量一定,工作效率和工作時間成反比例。       ( √ )

    (2)、圖上距離和實際距離成正比例。                     (  × )

    (3)、X和Y表示兩種變化的相關聯的量,同時5X-7Y=0,X和Y不成比例。(   ×   )

    (4)、分數的大小一定,它的分子和分母成正比例。          (  √   )

    (5)、在一定的距離內,車輪周長和它轉動的圈數成反比例。  (  √  )

    (6)、兩種相關聯的量,不成正比例,就成反比例。          (  ×  )

    (7)訂閱《小學數學評價手冊》的份數與所需錢數成正比例。   (  √  )

    (8)在400米賽跑中,跑步的速度和所用時間成反比例。       (  √  )

    (9)工作總量一定,已完成的量和未完成的量成反比例。       (  ×  )

    (10)正方體的棱長和體積成正比例。                        (  ×  )

    (11)被除數一定,除數和商成反比例。                      (  √  )

    (12)圓的周長和它的直徑成正比例。                        (  √ )

    8、判斷下面每題中的兩種量是不是成比例,如果成比例,成什么比例。

    (1)、裝配一批電視機,每天裝配臺數和所需的天數(   反比例      )。

    (2)、正方形的邊長和周長(   正比例        )。

    (3)、水池的容積一定,水管每小時注水量和所用時間(     反比例         )。

    (4)、房間面積一定,每塊磚的面積和鋪磚的塊數(      反比例        )。

    (5)、在一定時間里,加工每個零件所用的時間和加工零件的個數(  反比例  )。

    (6)、在一定時間里,每小時加工零件的個數和加工零件的個數(  正比例  )。

    9、思考:明明三歲時體重12千克,十一歲時體重44千克。于是小張就說:“明明的體重和身高成正比例。”你認為小張的說法對嗎?為什么?

    答:小張的說法是錯誤的,體重和身高不是兩種相關聯的量,體重和身高不成比例。

    10、某造紙廠每小時造紙1.5噸,2小時、3小時┈┈各造紙多少噸?

    (1)把下表填寫完整。

    造紙時間/時 1 2 3 4 ……

    造紙噸數/噸 1.5 3 4.5 6 ……

    (2)根據表中的數據,在下圖中描出造紙時間和造紙噸數對應的點,再把它們連起來。             噸數/噸

    6           ●  

    3      ● 

    1     

    0

    1  2  3  4 5  6  7 時間/時

    (3)造紙噸數與造紙時間成正比例嗎?為什么?

    因為  = 每小時造紙噸數(一定),所以每小時造紙噸數一定時,造紙噸數與造紙時間成正比例。

    (4)根據圖像判斷,5小時造紙多少噸?

    根據圖像判斷,5小時造紙7.5噸

     

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