垂徑定理及其推論的說課稿
各位專家、評委：
你們好！很高興能有機會參加這次活動，并得到您的指導(dǎo)。
我說課的題目是：圓的軸對稱性——垂徑定理及其推論。它是人教版義務(wù)教育課程標準實驗教科書《數(shù)學(xué)》九年級上冊第二十四章第一節(jié)的第二部分《垂直于弦的直徑》的內(nèi)容。。
這部分內(nèi)容教材安排了兩課時，其中第一課時講圓的軸對稱性，第二課時講圓的旋轉(zhuǎn)不變性。
結(jié)合我對教材的理解和我所任教班級學(xué)生的實際情況，我將圓的軸對稱性一課時內(nèi)容調(diào)整為兩課時，今天我所講的是第一課時——垂徑定理及其推論。
下面，我就從教學(xué)內(nèi)容，教學(xué)目標、教學(xué)方法與手段、教學(xué)過程設(shè)計等四個方面進行說明。
一、教學(xué)內(nèi)容的說明
教師只有對教材有較為準確、深刻、本質(zhì)的理解，并從“假如我是學(xué)生”的角度審視學(xué)生的可接受性，才能處理好教材。
垂徑定理及其推論反映了圓的重要性質(zhì)，是證明線段相等、弧相等、垂直關(guān)系的重要依據(jù)，為進行圓的計算和作圖提供了重要依據(jù)，因此這部分內(nèi)容是學(xué)習(xí)的重點， 垂徑定理及其推論的題設(shè)和結(jié)論較為復(fù)雜，容易混淆，因此也是學(xué)習(xí)的難點。
鑒于這種理解，通覽教材，我確定出如下教學(xué)內(nèi)容：
(1)了解圓的軸對稱性。
(2) 弄清垂徑定理及其推論的題設(shè)和結(jié)論。 (3)運用垂徑定理及其推論進行有關(guān)的計算和證明。
(4)學(xué)會與垂徑定理有關(guān)的添加輔助線的方法。
教學(xué)重點：垂徑定理及其推論
教學(xué)難點：垂徑定理的證明方法，其中圓的軸對稱性是理解垂徑定理的關(guān)鍵。
二、教學(xué)目標的確立
根據(jù)本課的具體內(nèi)容、學(xué)生的實際情況，我確立了如下的教學(xué)目標：
1、通過直觀演示了解圓的軸對稱性。
2、通過“試驗——觀察——猜想——證明”掌握垂徑定理及其推論。
3、運用垂徑定理解決有關(guān)的證明、計算和作圖問題。 4、培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺能力、抽象概括能力。激發(fā)學(xué)生的探索精神。
三、教學(xué)方法與手段的選擇
在教學(xué)方法方面:本節(jié)課主要采用了教師啟發(fā)引導(dǎo)下的學(xué)生自主探究、小組合作學(xué)習(xí)以及分層教學(xué)、分層評價的方法。
在教學(xué)過程中，遵循“實驗－觀察－猜想－證明－討論－總結(jié)－應(yīng)用”這一思路，使學(xué)生由感性認識上升到理性認識，再到實際應(yīng)用。遵循“階梯式發(fā)展”原則，引導(dǎo)學(xué)生在獨立分析、認真思考的基礎(chǔ)上，以小組討論等形式合作探究，進而解決問題、掌握方法。同時，考慮到不同層次學(xué)生的學(xué)習(xí)需要，在所提問題、例題、習(xí)題的設(shè)置上，均力爭使每名學(xué)生都有所得。
在教學(xué)手段方面：我采用教（學(xué)）具直觀演示與計算機輔助教學(xué)，以提高課堂教學(xué)效率。
四、教學(xué)過程的設(shè)計
1、堅持一條原則：學(xué)生是主體，教師是教學(xué)過程的組織者、引導(dǎo)者、合作者。
2、圍繞一個目的：落實教學(xué)目標
3、突出一個特點：通過“實驗－觀察－猜想－證明－應(yīng)用”幫助學(xué)生實現(xiàn)由感性認識到理性認識的過渡
4、采用一種手段：借助教具的直觀性和計算機輔助教學(xué)，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)定理，從而抽象概括出定理
5、收到一個效果：使學(xué)生通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，能夠理解定理的內(nèi)涵，學(xué)會運用定理解決問題。同時使學(xué)習(xí)知識、培養(yǎng)能力和優(yōu)化思維品質(zhì)融為一體。
學(xué)法指導(dǎo)：
動手操作、 觀察猜測、 交流討論、 分析推理、 歸納總結(jié)，在此過程中使學(xué)生積極參與，交流互動。
本課的教學(xué)過程包括：
以舊引新、引導(dǎo)探究——動手操作、觀察猜想——指導(dǎo)論證、引申結(jié)論——多方練習(xí)、分層評價——反思小結(jié)、布置作業(yè)五個環(huán)節(jié)。
（一）以舊引新、引導(dǎo)探究
人類認識事物大多遵循由感性認識到理性認識，由舊知到新知的上升過程，為此我先引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)與本課新知識有關(guān)的舊知識，出示如下兩個問題：
（1）什么是軸對稱圖形
（2）觀察下列圖形哪些是軸對稱圖形？并指出對稱軸條數(shù)。
其中第一題的目的在于喚起學(xué)生記憶，明確軸對稱圖形的概念。進而選取幾種常見的幾何圖形讓學(xué)生判斷，其中的平行四邊形是從反面強化對軸對稱圖形的理解。 第二組是有關(guān)車標圖案的軸對稱圖形，使學(xué)生知道我們身邊隨時隨地都有軸對稱圖形的存在，此時可讓學(xué)生再舉幾個實際例子，以激發(fā)學(xué)生的興趣。
然后出示圓，提問：圓是軸對稱圖形嗎？
它有幾條對稱軸？
對稱軸在什么位置？
進而通過學(xué)生折疊圓形紙片、
教師投影演示明確：
圓是軸對稱圖形，它有無數(shù)條對稱軸，過圓心的每一條直線都是它的對稱軸。
這樣通過創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)學(xué)生的求知欲，以舊引新，引出本課課題——圓的軸對稱性。
（二）動手操作，觀察猜想
首先讓學(xué)生按要求在事先準備好的圓形紙片中畫圖折疊、觀察、猜想。 ⅰ 畫出⊙O的一條弦AB
ⅱ 過O畫AB的垂線交⊙O于C、D兩點，垂足為E.
問題1：過O點垂直AB的直線有幾條？（說出理由）
設(shè)計意圖：明確垂直于弦的直線有且只有一條。
問題2：直徑CD還有什么性質(zhì)？（投影）
1、引導(dǎo)學(xué)生將⊙O紙片沿直徑CD折疊，觀察重合部分，猜想結(jié)論
2、小組交流猜想結(jié)論。
3、教師投影演示與學(xué)生共享猜想結(jié)論
設(shè)計意圖：通過調(diào)動學(xué)生的多種感官功能，使學(xué)生在動手動腦中強化思維品質(zhì)。同時為用“疊合法”證明垂徑定理起鋪路搭橋的作用。
（三）指導(dǎo)論證，引申結(jié)論
在師生共同得出猜想結(jié)論后，教師追問質(zhì)疑：猜想的結(jié)果是否正確，必須要加以證明，將學(xué)生的活躍思維從實驗猜想拉回到對猜想的嚴格證明中。 教學(xué)安排：
學(xué)生回答已知、求證后教師投影。
隨后指導(dǎo)學(xué)生從圓的軸對稱性入手，討論出聯(lián)結(jié)OA和OB后，抓住只要能夠證出直徑CD既是等腰三角形OAB的對稱軸，又是圓的對稱軸，即可利用圓的軸對稱性證明出結(jié)論。進而讓學(xué)生試述，教師板書證明過程。
進而總結(jié)出垂徑定理的內(nèi)容。并引導(dǎo)學(xué)生分析出定理的題設(shè)和結(jié)論。說明知道了題設(shè)的兩個條件，就可以得出三個結(jié)論。
此時出示判斷題
(1)過圓心的直徑平分弦（×）
(2)垂直于弦的直線平分弦（×）
(3)⊙O中，OE⊥弦AE于E，則AE=BE（√）】
引導(dǎo)小組討論，允許爭論，關(guān)鍵要讓學(xué)生說明理由，舉反例。交流討論、統(tǒng)一思想后，教師要充分利用評價機制鼓勵學(xué)生，并強調(diào)垂徑定理 圓的軸對稱性——垂徑定理及其推論題設(shè)中的兩個條件缺一不可。同時說明垂徑定理條件中的“直徑”是指過圓心的直線，但在應(yīng)用該條件時可以不為直徑，如半徑、圓心到弦的距離照樣可以得到平分弦的結(jié)論。
然后再次通過提問：如果將題設(shè)中的兩個條件改為“直徑平分弦”，能否得出其它三個結(jié)論呢？自然的引出對例1的教學(xué)：
【例1：已知:如圖，在⊙O中，直徑CD交弦AB于E，AE=BE
求證：CD⊥AB, 】
通過教師引導(dǎo)、小組討論分析證明出垂徑定理的推論：平分弦(非直徑)的直徑垂直于弦，且平分弦所對的兩條弧。使學(xué)生初步認識到將定理中題設(shè)的兩個條件之一與三個結(jié)論之一交換一個，也可得出其它三個結(jié)論。然后再次出示小組討論題，
【小組討論：下列命題是否正確？說明理由
1、弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，且平分弦所對的兩條弧。(√)
2、平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，且平分弦所對的另一條弧(√)】
進一步強化剛才的初步認識，進而歸納總結(jié)出其中規(guī)律：五個條件，知二推三。在整個過程中教師要及時引導(dǎo)學(xué)生通過畫圖分析、討論，說明理由，辨別正誤，從而有效的突破難點，突出重點。
O
（四）多方練習(xí)，分層評價
【例2、已知：如圖在⊙O中，弦AB的長是8cm，圓心O到AB的距離為3cm，求⊙O的半徑。】
1、選題意圖
至此，學(xué)生們對垂徑定理及其推論的基本知識應(yīng)該掌握了，為了使學(xué)生再上一個臺階，更好的將知識點落到實處。我安排了例2，試圖通過此例，使學(xué)生明確：在解決有關(guān)弦、半徑（直徑）、圓心到弦的距離等問題時，通常是將垂徑定理和勾股定理結(jié)合起來。達到一通百通的目的。并為例3的教學(xué)鋪平道路。
2、教學(xué)安排
ⅰ 解決問題：此題先提醒學(xué)生審清題意，思考如何構(gòu)造出圓的半徑及圓心O到弦AB的距離。在個人獨立思考建立圖形以后，進行小組交流、討論。最后各組派代表展示學(xué)習(xí)成果并說明理由，教師點撥，最后投影出完整解題步驟。 ⅱ 反思拓展：提問：在解答此題的過程中，你用到了幾個定理？
通過討論，使學(xué)生體會到：在解決有關(guān)弦、半徑（直徑）、圓心到弦的距離等問題時，通常是通過構(gòu)造直角三角形將垂徑定理和勾股定理結(jié)合起來。
然后，趁熱打鐵，通過三個難度不同的練習(xí)，進一步鞏固剛才討論得出的成果。
【 A組 在圓中某弦長為8cm，圓的.直徑是10cm，則圓心到弦的距離是( 3 )cm B組 在圓O中弦CD＝24，圓心到弦CD的距離為5,則圓O的直徑是( 26 ) C組 若AB為圓O的直徑，弦CD⊥AB于E，AE＝16，BE=4,則CD＝( 16 )】 ⅲ 分層評價：學(xué)生的認知水平是不同的，所以我有意識的將題目按由易到難的順序分成了A、B、C三組，其中A組題是為學(xué)困生編寫的；B組題絕大多數(shù)同學(xué)應(yīng)該掌握；C組題難度稍大，但稍微動一動腦，也不是不能做出的，是為中上等同學(xué)準備的。
需要說明的是：學(xué)生每做對一組題就可獲得一個滿分，教師此時巡視指導(dǎo)并及時評判各組當中做完的同學(xué)，而且不管是誰只要做對了題，都可以為本組同學(xué)判題打分。這樣安排，使不同層次的學(xué)生都學(xué)有所得，調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。
然后各組請代表說明解題思路。熱身之后，出示例3：
【例3、已知⊙O的直徑為4cm，弦AB=，求∠OAB的度數(shù)】
1、選題意圖：在鞏固例2成果基礎(chǔ)之上，出示例3，是為了將解直角三角形與垂徑定理的知識銜接起來，使知識之間融匯貫通——你中有我，我中有你。
2、教學(xué)安排：
ⅰ 解決問題：提問：求角度問題，可否通過解直角三角形的問題解決？ 學(xué)生自然會聯(lián)想到構(gòu)造直角三角形，進而作出正確的輔助線。然后利用特殊角的三角函數(shù)值求出銳角的度數(shù)。學(xué)生展示成果后，教師出示完整解題格式，并追問：還有沒有其它的解題方法？此時 圓的軸對稱性可能有的學(xué)生通過得出弦心距的長度，利用在直角三角形中，若一條直角邊等于斜邊一半，則該直角邊所對角為30°，亦可。教師要給予充分的肯定和鼓勵性評價。然后再通過一道證明題，
【練習(xí)：已知如圖，在以O(shè)為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C、D兩點。 求證：AC=BD 】
再一次的鞏固垂徑定理及輔助線的做法。
ⅱ 反思拓展：在圓中，解有關(guān)弦的問題時，常常需要作出“垂直于弦的直徑”作為輔助線，實際上，往往只需從圓心作弦的垂線段。
（五）反思小結(jié)、布置作業(yè)
這個環(huán)節(jié)主要讓學(xué)生談?wù)劚竟?jié)課的收獲和體會。我根據(jù)情況適當補充。然后仍按照學(xué)生層次布置分層作業(yè)。這樣最大限度的調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，使不同層次的學(xué)生都有所獲，在原有的基礎(chǔ)上得以發(fā)展、提高。
以上是我對本節(jié)課的說明，不妥之處，敬請專家、評委指正。謝謝大家！
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