《圓和圓的位置關系》教案

    時間:2021-07-03 20:43:42 教案 我要投稿

    《圓和圓的位置關系》教案

      教學目標

    《圓和圓的位置關系》教案

      (一)教學知識點

      1.了解圓與圓之間的幾種位置關系.

      2.了解兩圓外切、內切與兩圓圓心距d、半徑R和r的數量關系的聯系.

      (二) 能力訓練要求

      1.經歷探索兩個圓之間位置關系的過程,訓練學生的探索能力.

      2.通過平移實驗直觀地探索圓和圓的位置關系,發展學生的識圖能力和動手操作能力.

      (三)情感與價值觀要求

      1.通過探索圓和圓的位置關系,體驗數學活動充滿著探索與創造,感受數學的嚴謹性以及數學結論的確定性.

      2.經歷探究圖形的位置關系,豐富對現實空間及圖形的認識,發展形象思維.

      教學重點

      探索圓與圓之間的幾種位置關系,了解兩圓外切、內切與兩圓圓心距d、半徑R和r的數量關系的聯系.

      教學難點

      探索兩個圓之間的位置關系,以及外切、內切時兩圓圓心距d、半徑R和r的數量關系的過程.

      教學方法

      教師講解與學生合作交流探索法

      教具準備

      投 影片三張

      第一張:(記作3. 6A)

      第二張:(記作3.6B)

      第三張:(記作3.6C)

      教學過程

      Ⅰ.創設問題情境,引入新課

      [師]我們已經研究過點和圓的位置關系,分別為點在圓內、點在圓上、點在圓外三種;還探究了直線和圓的位置關系,分別為相離、相切、相交.它們的位置關系都有三種.今天我們要學習的內容是圓和圓的位置關系,那么結果是不是也是三種呢?沒有調查就沒有發言權.下面我們就來進行有關探討.

      Ⅱ.新課講解

      一、想一想

      [師]大家思考一下,在現實生活中你見過兩個圓的哪些位置關系呢?

      [生]如自行車的兩個車輪間的位置關 系;車輪輪胎的兩個邊界圓間的位置關系;用一只手拿住大小兩個圓環時兩個圓環間的位置關系等.

      [師]很好,現實生活中我們見過的有關兩個圓的位置很多.下面我們就來討論這些位置關系分別是什么.

      二、探索圓和圓的位置關系

      在一張透明紙上作一個⊙O.再在另一張透明紙上作一個與⊙O1半徑不等的⊙O2.把兩張透明紙疊在一起,固定⊙O1,平移⊙O2,⊙O1與⊙O2有幾種位置關系?

      [師]請大家先自己動手操作,總結出不同的位置關系,然后互相交流.

      [生]我總結出共有五種位置關系,如下圖:

      [師]大家的歸納、總結能力很強,能說出五種位置關系中各自有什么特點嗎?從公共點的個數和一個圓上的點在另一個圓的內部還是外 部來考慮.

      [生]如圖:(1)外離:兩個圓沒有公共點,并且每一個圓上的點都在另一個圓的外部;

      (2)外切:兩個圓有唯一公共點,除公共點外一個圓上的點都在另一個圓的外部;

      (3)相交:兩個圓有兩個公共點,一 個圓上的點有的在另一個圓的外部,有的在另一個圓的內部;

      (4)內切:兩個圓有一個公共點,除公共點外,⊙O2上的點在⊙O1的內部;

      (5)內含:兩個圓沒有公共點,⊙O2上的點都在⊙O1的內部.

      [師]總結得很出色,如果只從公共點的個數來考慮,上面的五種位置關系中有相同類型嗎?

      [生]外離和內含都沒有公共點;外切和內切都有一個公共點;相交有兩個公共點.

      [師]因此只從公共點的個數來考慮,可分為相離、相切、相交三種.

      經過大家的討論我們可知:

      投影片(24.3A)

      (1)如果從公共點的個數,和一個圓上的點在另一個圓的外部還是內部來考慮,兩個圓的位置關系有五種:外離、外切、相交、內切、內含.

      (2)如果只從公共點的個數來考慮分三種:相離、相切、相交,并且相離 ,相切

      三、例題講解

      投影片(24.3B)

      兩個同樣大小的肥皂 泡黏在一起,其剖面如圖所示(點O,O'是圓心),分隔兩個肥皂泡的肥皂膜PQ成一條直 線,TP、NP分別為兩圓的切線,求TPN的大小.

      分析:因為兩個圓大小相同,所以 半徑OP=O'P=OO',又TP、NP分別為兩圓的切 線,所以PTOP,PNO'P,即OPT=O'PN=90,所以TPN等于36 0減去OPT+O'PN+OPO'即可.

      解 :∵OP=OO'=PO',

      △PO'O是一個等邊三角形.

      OPO'=60.

      又∵TP與NP分別為兩圓的切線,

      TPO =NPO'=90.

      TPN=360-290-60=120.

      四、想一想

      如圖(1),⊙O1與⊙O2外切,這個圖是 軸對稱圖形嗎?如果是,它的對稱軸是什么?切點與對稱軸有什么位置關系?如果⊙O1與⊙O2內切呢?〔如圖(2 )〕

      [師]我們知道圓是軸對稱圖形,對稱軸是任一直徑所在的直線,兩個圓是否也組成一 個軸對稱圖形呢?這就要看切點T是否在連接兩個圓心的直線上,下面我們用反證法來證明.反證法的步驟有三 步:第一步是假設結論不成立;第二步是根據假設推出和已知條件或定理相矛盾的結論;第三步是證明假設錯誤,則原來的結論成立.

      證明:假設切點T不在O1O2上.

      因為圓是軸對稱圖形,所以T關于O1O2的對稱點T'也是兩圓的`公共點,這與已知條件⊙O1和⊙O2相切矛盾,因此假設不成立.

      則T在O1O2上.

      由此可知圖(1)是軸對稱圖形,對 稱軸是兩圓的連心線,切點與對稱軸的位置關系是切點在對稱軸上.

      在圖(2)中應有同樣的結論.

      通過上面的討論,我們可以得出結論:兩圓相內切或外切時,兩圓的連心線一定經過切點,圖(1)和圖(2)都是軸對稱圖形,對稱軸是它們的連心 線.

      五、議一議

      投影片(24.3C)

      設兩圓的半徑分別為R和r.

      (1)當兩圓外切時,兩圓圓心之間的距離(簡稱圓心距)d與R和r具有怎樣的關系?反之當d與R和r滿足這一關系時,這兩個圓一定外切嗎?

      (2)當兩圓內切時(R>r),圓心距d與R和r具有怎樣的關系?反之,當d與R和r滿足這一關系時,這兩個圓一定內切嗎?

      [師]如圖,請大家互相交流.

      [生]在圖(1)中,兩圓相外切,切點是A.因為切點A在連心線 O1O2上,所以O1O2=O1A+O2A=R+r,即d=R+r;反之,當d=R+r時,說明圓心距等于兩圓半徑之和,O1、A、O2在一條直線上,所以⊙O1與⊙O2只有一個交點A,即⊙O1與⊙O2外切.

      在圖(2)中,⊙O1與⊙O2相內切,切點是 B.因為切點B在連心線O1O2上,所以 O1O2=O1B-O2B,即d=R-r;反之,當d=R-r時,圓心距等于兩半徑之差,即O1O2=O1B-O2B,說明O1、O2、B在一條直線上,B既在⊙O1上,又在⊙O2上,所以⊙O1與⊙O2內切.

      [師]由此可知,當兩圓相外切時,有d=R+r,反過來,當d=R+r時,兩圓相外切,即兩圓相外切 d=R+r.

      當兩圓相內切時,有d=R-r,反過來,當d=R-r時,兩圓相內 切,即兩圓相內切 d=R-r.

      Ⅲ.課堂練習

      隨堂練習

      Ⅳ.課時小結

      本節課學習了如下內容:

      1.探索圓和圓的五種位置關系;

      2.討論在兩圓外切或內切情況下,圖形的軸對稱性及對稱軸,以及切點和對稱軸的位置關系;

      3. 探討在兩圓外切或內切時,圓心距d與R和r之間的關系.

      Ⅴ.課后作業 習題24.3

      Ⅵ.活動與探究

      已知圖中各圓兩兩相切,⊙O的半徑為2R,⊙O1、⊙O2的半徑為R,求⊙O3的半徑.

      分析:根據兩圓相外切連心線的長為兩半徑之和,如果設⊙O 3的半徑為r,則O1O3=O2O3=R+r,連接OO3就有OO3O1O2,所以OO2O3構成了直角三角形,利用勾股定理可求得⊙O3的半徑r.

      解:連接O2O3、OO3,

      O2OO3=90,OO3=2R-r,

      O2O3=R+r,OO2=R.

      (R+r)2=(2R-r)2+R2.

      r= R.

      板書設計

      24.3 圓和圓的位置關系

      一、1.想一想

      2.探索圓和圓的位置關系

      3.例題講解

      4.想一想

      5.議一議

      二、課堂練習

      三、課時小結

      四、課后作業

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