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    不等式證明方法

    時間:2024-06-28 03:11:21

    不等式證明方法

    不等式證明方法

    不等式證明方法

      一、不等式證明的常用方法和基本不等式

      師:前面我們復習了不等式的性質,現在開始復習不等式的證明.下面我們先來看一個問題:

      [例1]求證:(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2

      如何證明這個不等式呢?我們回憶一下,不等式證明有哪些常用的方法?

      生:比較法、分析法和綜合法.

      師:什么是比較法?這個不等式能不能用比較法來證明?

      生:要證明a>b,只要證明a-b>0,這就是不等式證明的比較法,這個不等式能用比較法證明.

      證法一

      ∵(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2

      =a2c2+a2d2+b2c2+b2d2-a2c2-2abcd-b2d2

      =(bc-ad)2≥0

      ∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2

      師:用比較法證明不等式的基本步驟有哪些?

      生:有三步:(1)作差 (2)變形 (3)確定符號

      師:什么是分析法?這個不等式能不能用分析法來證明?

      生:從求證的不等式出發,分析使這個不等式成立的條件,把證明這個不等式轉化為判定這些條件是否具備的問題;如果能夠肯定這些條件都已具備,那么就可以斷定原不等式成立,這種方法就是不等式證明的分析法.這個不等式能用分析法來證明.

      證法二

      要證明(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2

      只要證明a2c2+b2c2+a2d2+b2d2≥a2c2+2abcd+b2d2

      也就是證明b2c2+a2d2≥2abcd

      即 (bc-ad)2≥0

      ∵(bc-ad)2≥0成立

      ∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2成立

      (教師指出應用分析法證明時要注意書寫格式)

      師:什么是綜合法?這個不等式能不能用綜合法來證明?

      生:利用某些已經證明過的不等式作為基礎,再運用不等式的性質推導出所要證明的不等式,這種方法是不等式證明的綜合法,這個不等式能用綜合法來證明.

      證法三

      ∵b2c2+a2d2≥2abcd

      ∴a2c2+b2d2+b2c2+a2d2≥a2c2+2abcd+b2d2

      即 (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2

      師:應用綜合法證明的關鍵是找出作為基礎的已經證明過的不等式.這些不等式大都是基本不等式,主要有:

      a2+b2≥2ab(a、b∈R)

      (a、b∈R+)

      這里要注意:

      (1)不等式成立的條件,字母的允許值范圍;

      (2)當且僅當a=b時,等號成立.

      [這里改變了高三復習課先整理知識,然后講解例題的傳統模式,而是先提出問題讓學生思考,創設問題情境,激起學生復習的欲望和要求,喚起學生對舊知識的回憶,引起學生的思維.這樣可以提高學生復習的積極性.在此基礎上,通過教師的啟發,讓學生自己逐步回憶過去所學的知識,應用它們來分析問題和解決問題,最好引導學生自己歸納、整理舊知識,形成比較系統和完整的知識結構.]

      二、不等式證明方法的應用

      [例2]已知a、b、c是不全相等的正數.

      求證:

      (先讓學生議論,然后由學生起來回答,教師板書.)

      證明:∵

      a、b、c是不全相等的正數

      ∴①②③中等號不同時成立

      ∴

      即

      (如果學生按上述步驟進行證明,教師應提出:這樣證明有沒有問題?讓學生通過思考后發現:在證明一開始必須先指出a、b、c∈R+,否則不能確定①、②、③是否成立.)

      師:在證明不等式時,應注意以下幾點:

      (1)不等式的逆向運用,要證明不等式可以先證明它的逆向不等式.

      (2)已知條件在不等式證明中的應用.由于a、b、c是三個不全相等的正數,從而得出①、②、③中三個等號不同時成立,于是才能證得原不等式成立.

      (3)同向不等式相加是用綜合法證明不等式的常用手段.

      [例3]已知a、b、c∈R+,求證:

      (師生共同進行分析)

      要證明

      只要證明

      也就是證明

      如何證明這個不等式呢?(讓學生議論后回答)

      生:∵a、b∈R+

      ∴

      ∴

      師:這樣證明有沒有問題? 生:(回答略)

      師:在證明中必須注意:

      這是因為兩個同向不等式相乘,必須兩個不等式的兩邊都是正的,才能運用不等式性質得出正確的結論.

      通過討論我們可以得出如下結論:

      (1)在證明不等式時,常常先用分析法思考,然后運用綜合法來表達.

      (2)在不等式證明中常常要綜合應用其他的數學知識,如例3中要應用對數函數的增減性來證明.

      (3)同向不等式相乘也是用綜合法證明不等式的常用手段.

      [復習基本方法除了理解方法本身以外,重點是復習它的應用,關鍵是掌握運用基本方法的規律以及在運用時應注意的問題.在證明不等式時,常常先用分析法思考,然后用綜合法表達,在運用綜合法時,同向不等式相加和相乘又是常用的手段,還有不等式的逆向運用問題.在不等式證明的過程中,特別要注意基本不等式和不等式性質運用時所必須具備的條件,所有這些都必須通過復習讓學生掌握.這里還運用提出問題、分析問題和解決問題的方式來進行復習,讓學生在解決問題的過程中,通過討論,自己總結規律,掌握方法,提高能力,充分發揮他們的主體作用,提高復習效果.]

      三、不等式證明方法的靈活應用

      師:下面請同學們探討一下例4的解法

      [例4]已知a、b、c∈R+,求證:ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)≥6abc

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